初三数学试题 抛物线与三角形面积

抛物线与三角形面积

抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：

(1)、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：

SΔ= |x1-x2|•| |= • •| |

(2)、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：

SΔ= •|x1-x2|•|c|= • •|c|

(3)、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

二、　1.求内接于抛物线的三角形面积。

例1.已知抛物线的顶点C(2， )，它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。

解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,

∴ AB=|x2-x1|=|3-1|=2.

∴ SΔABC= ×2× = .

例2.已知二次函数y= x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

解：如图1，S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD

= × ×| |+ × ×|2|= .

例3.如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

解：由

得点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，6);抛物线与y轴交点C的坐标为

(0，3)如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB= =2 ，

BC= =3 ，AC= = 。

∵ AC2+BC2=AB2，

∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，

∴ SΔABC= AC•BC= × ×3 =3。

2.求抛物线的解析式

例4.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔAMB=8，求它的解析式。

解：∵ 对称轴为直线x=-2,

∴ - =-2, ∴ b=4,

∴ y=x2+4x+c,

∵ SΔAMB= • •| |= •| |=8，

∴ c=0, ∴ y=x2+4x.

例5.设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20，

∠ACB=90°，SΔACB=150，求二次函数的解析式。

解：如图3，∵ SΔACB= AC•BC，

即150= ×20•BC， ∴ BC=15，

∴ AB= = =25，

又∵ OC⊥AB， ∴ SΔACB= AB•OC

即150= ×25•OC，∴ OC=12，故C点坐标为(0，12)，

∴ AO= =16，OB=AB-AO=25-16=9，

∴ 点A为(-16，0)，点B为(9，0)，

∵ 二次函数的图像过A、B、C三点，

∴ 解得 ，

∴ 所求解析式为：y=- x2- x+12.

3.求抛物线解析式中字母系数的值。

例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2,

(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点;

(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4 ，求m的值。

解：

(1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,

∴ 不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。

(2)SΔ= • •|c|= • •|m-2|=4 .

即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0

解得 m=6或m=-2.

例7.设O和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，O为原点，M为抛物线的顶点，当ΔOMB为等腰直角三角形时，求k的值。

解：如图4，作MN⊥x轴于N点，∵ ΔOMB为等腰直角三角形，∴ MN= OB，

即| |= • ，

∴ k1=0, k2=- .

又∵ 抛物线与x轴有两个相异交点，

∴ Δ=(-2)2-4×(-3)k=4+12k>0.

∴ k>- ，故取k=0。