(2)直线CE是线段AA′的垂直平 分线.

25.(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA，OD到点F，E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2).

(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明;

(2)当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形.

26.(10分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE ∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O、点E，连接EC.

(1)求证：AD=EC;

(2)当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形;

(3)在(2)的条件下，若AB=AO，求tan∠OAD的值.

参考答案

一、1.B

2.A　③是正五边形，几个正五边形的内角绕着一点不能拼成一个周角，所以正五边形不可以密铺.

3.A　4.D

5.C　∵AD∥BC，AB=CD=AD，

∴梯形ABCD是等腰梯形，

∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠ADB，

∴梯形ABCD是轴对称图形，∠DBC=12∠ABC.

∵∠BCD=60°，∴∠DBC=12∠ABC=30°，

∴BC=2CD=2AD.

∵梯形ABCD是轴对称图形，BD平分∠ABC，

∴AC平分∠DCB，故不正确的说法只有C.

6.A　∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC，AB=CD，OA=OC.

∵EF⊥AC，∴AE=CE.

∴CE+CD+ED=AE+ED+CD=AD+CD

=12(AB+BC+CD+AD)=12×20=10(cm).

7.D　两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A项正确;有一个角是直角的平行四边形是矩形，B项正确;对角线平分对角的平行四边形是菱形，C项正确;因此D项错.

8.A　9.B　10.A

二、11.40 cm　12.6　13.112

14.4.8　作DE∥AC交BC的延长线于E，

∵AD∥BC，DE∥AC，

∴四边形ACED为平行四边形.

∴DE=AC=8 cm.

∵AC⊥BD，DE∥AC，

∴△BDE为直角三角形.

∵BD=6 cm，DE=8 cm，

∴BE=BD2+DE2=10 cm.

作DF⊥BE于F，则12BD•DE=12BE•DF，

即12×6×8=12×10•DF，

∴DF=4.8 cm.

15.(5+1)　如图，连接QD交AC于P，连接BP，BD.

∵点D是点B关于直线AC的对称点，而AC垂直平分BD，∴PB=PD.

∴PB+PQ=PD+PQ=QD，此时所求周长最小.

在Rt△DCQ中，QC=1，DC=2，∴QD=5.

∴△PBQ周长的最小值为(5+1) cm.

16.12　17.2或143　18.14n-1

三、19.解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC.

∵在△AFD和△CEB中，DF=BE，∠DFA=∠BEC，AF=CE，

∴△AFD≌△CEB(SAS).

(2)四边形ABCD是平行四边形.

证明：∵△AFD≌△CEB，

∴AD=CB，∠DAF=∠BCE.

∴AD∥CB.

∴四边形ABCD是平行四边形.

20.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC.∴AF∥EC.

∵BE=DF，∴AF=EC.

∴四边形AECF是平行四边形.

(2)解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC.

∴∠1=∠2.

∵∠BAC=90°，

∴∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1.

∴∠3=∠4.∴AE=BE.

∴BE=AE=CE=12BC=5.

21.解：(1)∵△ABE是等边三角形，FE⊥AB交于F，

∴∠AEF=30°，AB=AE，∠EFA=90°.

在Rt△AEF和Rt△BAC中，

∵∠AEF=∠BAC，∠EFA=∠ACB，AE=AB，

∴△AEF≌△BAC(AAS).∴AC=EF.

(2)证明：∵△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD.

∴∠DAB=60°+30°=90°.

又∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°=∠DAB.

∴AD∥EF.

又∵AC=EF(已证)，AC=AD，

∴AD=EF.∴四边形ADFE是平行四边形.

22.证明：(1)∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF.

在△BFC和△DFC中，

BC=DC，∠BCF=∠DCF，FC=FC.

∴△BFC≌△DFC.

(2)如图，连接BD.

∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF.

∴∠FBD=∠FDB.

∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB.

∴∠ABD=∠FBD.

∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC.

∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC.

∴∠BDA=∠BDC.

又BD是公共边，∴△BAD≌△BED.

∴AD=DE.

23.解：在 ABCD中　对角线AC平分∠DAB(或∠DCB).

ABCD是菱形

证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∴∠DAC=∠BCA.

∵对角线AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC.

∴∠BCA=∠BAC.

∴BA=BC.

∴ ABCD是菱形.

24.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°.

∴∠A′DE=90°，

根据旋转的方法可得，∠EA′D=45°.

∴∠A′ED=45°.∴A′D=DE.

在△AA′D和△CED中，AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，

∴△AA′D≌△CED.

(2)∵AC=A′C，

∴点C在AA′的垂直平分线上.