教学目标

知识技能

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.

数学思考

经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.

解决问题

通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.

情感态度

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

重点

列一元二次方程的方法解有关问题的应用题．

难点

发现问题中的等量关系．

活动流程图

活动内容和目的

活动1  复习，回顾解应用题的一般步骤

活动2  封面设计问题

活动3  草坪规划问题

活动4  小结，布置作业

回顾解应用题的一般步骤及注意问题.

对比几种方案，探究问题中的数量关系及其变化，活跃思维，提高解题能力.

   巩固的同时认识图形变换对解题思路的影响，熟悉面积问题应用题的基本思路和方法.

回顾，总结，提高知识的系统性.

问题与情景

师生行为

设计意图

「活动1」

问题

通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？

教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充.

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生对列方程解应用问题的步骤

是否清楚；

（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题.

活动1为学生创设了一个回忆、思考的情景，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫.

「活动2」

问题

要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）.

（1）本题中有哪些数量关系？

（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？

教师展示课件（或展示图片，如教科书图22.3-1），

请一位同学朗读题目.

教师提出问题（1）

学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系.

教师提出问题（2）

学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9︰7.

问题（1）（2）都是帮助学生更好的理解题意，为后面的解题做以铺垫.

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

教师提出问题（3）

学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示.

问题（3）是活动2的中心环节，通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性.

  在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段，为活动3埋下一个伏笔.

（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？

教师提出问题（4）

学生分组，分别按问题三中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解.

题过程和应注意问题.

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生对几何图形的分析能力；

（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；

（3）在讨论中能否互相合作；

（4）一元二次方程的解答能力.

（5）学生回答问题时的语言表达是否准确.

问题（4）可以使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结

论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验.

「活动3」

问题

如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵，四条小路，横纵路的宽度之比为3：2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？（见教科书习题22.3第10题图）：

（1）本题中有哪些数量关系？

教师展示课件（或展示图片）

请一位同学朗读题目.

教师提出问题（1）

学生回答，教师在题目中指出.

在活动2中，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路.

活动3的设计就是基于这个前提，首先使同学熟悉活动2中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究.

（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？

教师提出问题（2）

学生思考.因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充.第4问让大家适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理.

    问题（1）（2）是针对活动2的巩固性练习.但是由于本题的数量关系变形的空间比较狭窄，经过解析之后依然不能得到比较满意的答案.由此激发学生进一步探究的热情.

 （3）对比教科书图22.3-1和习题22.3第10题图，它们有什么联系与区别？

   教师提出问题（3）

   学生分组讨论，教师指导.引领学生

讨论后请一位同学回答.

教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示.

问题3是活动3的中心环节，以图形对比的问题为

引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生以活动2中的封面问题为模型，构建活动3中的草坪问题的解题思路.

（4）有什么方法使本题易于解决？

教师提出问题（4）

学生分组讨论，画图，上台演示.

教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则.

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生在活动1中的学习效果；

（2）使学生充分体会图形变换的灵活性；

（3）学生对图形的观察、联想能力；

（4）教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则.

    在学生充分的思维活动之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评.

「活动4」

问题

通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？

布置作业：

教科书53页，习题22.3第5、8题; 教科书58页，复习题22第7、10题

教师提出问题，学生回答.

教师总结.

在小结时，教师应重点关注：

（1）对知识的归纳，总结，整理能力；

（2）知识的横向联结能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想.

学生独立完成作业，教师批该后应关注：

（1）能否正确分析等量关系；

   （2）能否有效变换图形，简化题意；

（3）解题思路是否完整，解题过程是否规范.

 点明本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰.

学生巩固，提高.