6、切线长定理的基本图形研究

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C

(1)写出图中所有的垂直关系;

(2)写出图中所有的全等三角形;

(3)写出图中所有的相似三角形;

(4)写出图中所有的等腰三角形.

说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.

(二)应用、归纳、反思

例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，

A和B是切点，BC是直径.

求证：AC∥OP.

分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA=PB，∠APO=∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB=OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.

从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法.

证法一.如图.连结AB.

PA，PB分别切⊙O于A，B

∴PA=PB∠APO=∠BPO

∴ OP ⊥AB

又∵BC为⊙O直径

∴AC⊥AB

∴AC∥OP (学生板书)

证法二.连结AB，交OP于D

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA=PB∠APO=∠BPO

∴AD=BD

又∵BO=DO

∴OD是△ABC的中位线

∴AC∥OP

证法三.连结AB，设OP与AB弧交于点E

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA=PB

∴ OP ⊥AB

∴  =

∴∠C=∠POB

∴AC∥OP

反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.

例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.

(分析和解题略)

反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质：对角互补.

P120练习：

练习1　填空

如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO=6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA=_______，∠APB=________

练习2　已知：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长.

分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果.

(解略)

反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.

(三)小结

1、提出问题学生归纳

(1)这节课学习的具体内容;

(2)学习用的数学思想方法;

(3)应注意哪些概念之间的区别?

2、归纳基本图形的结论

3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.

(四)作业

教材P131习题7.4A组1.(1)，2，3，4.B组1题.

探究活动

图中找错

你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?

在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.

提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上.

在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，则有

a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c　　①

c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b　　②

a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b　　③

将②代人①式得

a = P1P3+(P2P3+ b)= P1P3+P2P3+ b，

∴a-b= P1P3+P2P3

由③得a-b= P1P2得

∴P1P2= P2P3+ P1P3

∴P1、P 2 、P3应重合，故图2是错误的.

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