教学重点：

理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.

教学难点：

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

教学活动设计

(一)提出问题

1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系?(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系?

2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB.

3、证明：

让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.

分析：要证PT2=PA·PB，  可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.

4、引导学生用语言表达上述结论.

切割线定理  从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

(二)切割线定理的推论

1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?

观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.

2、组织学生用多种方法证明：

方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB.  (如图4)

方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P.  因此△PAD∽△PCB.(如图5)

方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)

(三)初步应用

例1  已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.

分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.

(解略)教师示范解题.

例2  已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC=BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，

求证：AE=BF.

分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC=BD，AD=BC.  因此它们的积相等，问题得证.

学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2=AC·CD和BF2=BD·DC等.

巩固练习：P128练习1、2题

(四)小结

知识：切割线定理及推论;

能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式;

方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.

(五)作业教材P132中，11、12题.

探究活动

最佳射门位置

国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足球门宽7.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

分析与解 如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.

故 ，又 ，

OB=30.34+7.32=37.66.

OP= (米).

注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.

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