三、             三角函数图像的对称性列表

函 数

对称中心坐标

对称轴方程

y = sin x

( kπ, 0 )

x = kπ+π/2

y = cos x

( kπ+π/2 ,0 )

x = kπ

y = tan x

(kπ/2 ,0 )

无

注：①上表中k∈Z

②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。

四、              函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是(   )(第十二届希望杯高二第二试题)

(A)是偶函数，也是周期函数        (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数        (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10-x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。

(A)    1999; (B)2000; (C)2001;(D)2002。

解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，

∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选(C)

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时，

f (x) = - x，则f (8.6 ) = _________   (第八届希望杯高二第一试题)

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;

又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是(   )(92全国高考理) (A) x = -          (B) x = -        (C) x =            (D) x =

解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x +  = k+

∴x = - ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = -     故选(A)

例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = ( )

(A) 0.5            (B) -0.5             (C) 1.5                 (D) -1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心;

又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)

更多精彩内容请点击: 2018威廉希尔决赛赔率  > 初三 > 数学 > 初三数学教案