教学设计学科名称：人教版九年级数学下册第二十六章二次函数用函数观点看一元二次方程

所在班级情况，学生特点分析：

本人担任八年级(1)、(2)两班的数学教学，学生共106人，男生50人，女生56人。约有65%的学生对本门课有浓厚学习兴趣。

教学内容分析：

本节课选自人教版九年级数学下第二十六章，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系。

教学目标

知识与技能：理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.并能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神，会用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验，并通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

态度、情感、价值观：从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲，并通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。

重难点关键

1.重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。

2.难点关键：探索方程与函数之间关系的过程，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

教学过程：

一、引入新课

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题

问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?

教学要点

1.让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数

y=-x2+2x+最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标;

2.学生解答，教师巡视指导;

3.让一两位同学板演，教师讲评。

问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?

教学要点

1.教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。

2.让学生完成解答，教师巡视指导。

3.教师分析存在的问题，书写解答过程。

解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。

这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的  函数关系式为：y=ax2  (a<0)    (1)

因为AB与y轴相交于C点，所以CB==0.8(m)，又OC=2.4m，所以点B的坐标是(0.8，-2.4)。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得    -2.4=a×0.82  所以：a=

因此，函数关系式是  y=x2    (2)

因为OF=1.5m，设FD=x1m(x1>0)，则点D坐标为(x1，-1.5)。因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得 -1.5=x12          x12=            x1=±

x1=-不符合假设，舍去，所以x1=

ED=2FD=2x1=2×= ≈ ×3.162≈1.26(m)

所以涵洞ED是m，会超过1m。

问题3：画出函数y=x2-x-的图象，根据图象回答下列问题。

(1)图象与x轴交点的坐标是什么;

(2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程x2-x-=0有什么关系?

(3)你能从中得到什么启发?

教学要点

1.先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y=x2-x-的图象。

2.教师巡视，与学生合作、交流。

3.教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。

4.教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(-，0)和(，0)。

5.让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。

6.对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y=x2-x-的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2-x-=0的解;从“数”的方面看，当二次函数y=x2-x-的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2-x-=0的解。更一般地，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

三、试一试

根据问题3的图象回答下列问题。

(1)当x取何值时，y<0?当x取何值时，y>0?

(当-

(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题?    (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2-x-<0的解集是什么?x2-x->0的解集是什么?)

想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?

让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：

(1)从“形”的方面看，二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。

(2)从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。

四、课堂练习：    P23练习1、2。

五、小结：

1.通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?

2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。

六、作业：

自问自答：设计思路与过程

在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台;学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界。

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