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 一元二次方程

【学习目标】1. 认识一元二次，会辨认一元二次方程。

2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。

3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。

【学习过程】

一.知识回顾：一元一次方程：

分式方程：

二.自主探究：

(一)一元二次方程的概念

1.自学课本72页内容，得到的三个方程分别是：①

② ③

2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按 x 的将幂排列。

① ② ③

这三个方程的共同特点：

3. 像这样的方程叫做一元二次方程。

对应练习：

1.下面的方程是一元二次方程吗?为什么?

(1) x2-9=0 (2)y2-4y=0 (3)1/3x-x2 =0 (4)4s(s-1)=4s2+2

(5)3x+ x2-1=0 (6)3x3-4x2+1=0

2.关于x的方程(a-1)x2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是___________

(二)一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为___________________，二次项是________,一次项是________，常数项是_______，其中a称为__________b称为__________.

对应练习：

1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.

2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。

①3x(x+1)=4(x-2) ②(x+3)2=(x+2)(4x-1) ③2(y+5)(y-1)=y2-8 ④2t=(t+1)2

三.课堂小结

四.课堂检测：

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )

A:ax2+bx+c=0 B:k2x+bk+6+0 C:3x2+2x+1=0 D(m2+3)x2+3x-2=0

2.方程(3x-1)(2x+4)=1化为一般形式是其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.

3.小明家有一块长150㎝，宽100㎝的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为x㎝，则根据题意，可列方程为____________________,并化成一般形式

3.2 用配方法解一元二次方程(1)

【学习目标】1.知道什么叫开平方法。

2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。

【学习过程】

一.复习回顾： 1.平方根的定义____________________________。

2.求下列各数的平方根：4 ，6 ，0 ，12.

3.负数有没有平方根?

相关知识链接：

为美化校园，我校决定将校园中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应该增加多少?

解：设边长应增加x米，根据题意可列方程_________________________________

同学们思考，怎样解这个方程?

二.探求新知：

自学课本80页内容，再根据平方根的意义，解下列方程

①x2=9 ②x2=6 ③(x+3)2=1 ④(x-2)2=2

方法总结：

通过学习，总结以上各题的特点：1.如果一个一元二次方程一边是____________________

另一边是_____________________________就可以用开平方法求解。

2.利用开平方解一元二次方程，一定注意方程有__________个解。

三.典型例题：

例1.解方程：4x2-7=0

对应练习：解方程

①49x2=25 ② 0.5x2-32=0 ③2x2=3 ④9x2-8=0

例2. 9(x-1)2=25

对应练习：(1)(x+1)2=16 (2)(6x-1)2=81

小结：

当堂测试：

1.下列方程，能否用开平方法求解( )

(1)2x2=1 (2)3x2+1=0 (3)9(x-2)2=25(4)x2-4x+4=9

2.利用开平方法解方程：

(1)4x2=9 (2)2(x-3)2=8

3.解方程：(x+ )(x- )=2

3.2用配方法解一元二次方程(2)

学习目标：1.知道配方法与开平方法的关系。

2.学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

3.归纳配方法解一元二次方程的一般步骤，并熟练解方程。

学习过程：

一.拓通准备：

1.回顾开平方法解方程，方程具备的特点：__________________.

2.添加适当的数，使下列等式成立。

(1)x2+6x+_______=(x+3)2 (2) x2+18x+______=(x+____)2

(3) x2-16x+______=(x-____)2 (4) x2+Px+______=(x+____) 2

(5) x2-x+______=(x-____)2

二.探求新知：

1.观察方程：x2+10x+25=26，左边可以变成______________,原方程变成__________,用开平方法解这个方程。

2.观察方程x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同?怎样变化就可以得到方程一的形式

3.总结上述方程解法中，关键是哪一步?具体做法是什么?

_____________________________________________________________________.

4.什么是配方法?______________________________________.

三.典型例题：用配方法解方程：

(1)x2-3x=-2 (2)x2-6x+8=0

方法总结：

1.用配方法解一元二次方程时，常数项和一次项系数有什么关系?

2.用配方法解一元二次方程的具体步骤： __________ _________________________.

对应练习：用配方法解下列方程：

(1)x2+4x=-3 (2)x2-6x=7 (3)Y2=3Y-2 (4)x2+12x+1=0

四.拓展延伸：用配方法解方程：(x+1)2+2(x+1)=8

五.课堂小结

六.当堂检测：

1.关于x的方程x2+a+1=2x有解得条件是( )

A .a<0 B . a>0 C . a 为非负数 D. a 为非正数

2.填空：(1)x2-7x+_____=(x-____) 2 (2)x2+20x+_____=(x+____)2

3.利用配方法解下列方程：(1)x2-3x+2=0 (2)x2-5x=6

4.在一块长35 m,宽26m的矩形地面上，修建同样宽的

两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分

的面积为850㎡，道路的宽应为多少?

3.2用配方法解一元二次方程(3)

学习目标：

1、 学会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。

2、 熟记配方法解一元二次方程的步骤。

3、 体会配方法解一元二次方程的实际意义。

学习过程：

一.拓通准备： 解方程：x2+x-1=0

二.探求新知： 解方程：2x2+3x-1=0

总结方法：用配方法解一元二次方程时，一般先把二次项系数化为_________，然后把方程的_____________________移到方程的右边，再把左边配成一个_____________________，如果右边是________________，就可以进一步通过直接开平方求它的解.

三.自我训练：用配方法解下列方程：

(1)3Y2-12=2Y (2)3x2-5x-2=0 (3)3x2+4x-1=0 (4)2x2-2 x+1=0

四.能力提升：

1.用配方法解方程x(2x-1)=3 2.实际应用：当x取何值时，2x2-3x+1的值等于3.

五.拓展延伸：如果P与q都是常数，且P2≥4q,你会用配方法解关于x 的一元二次方程x2+Px+q=0吗?试一试。

六.当堂达标：

1.用配方法解方程2x2-3=-6x,正确的解法是( )

A: (x+ )2= , x=﹣ ± B: (x- )2= , x= ±

C: (x+ )2=﹣ , 原方程无解。 D: (x+ )2= , x=﹣ ±

2.若用配方法解方程，2x2- x-4=0时，原方程可变形为__________________.

3.用配方法解下列方程：

(1)3 x2-6x=0 (2)2x2-7x+3=0

3.3用公式法解一元二次方程(1)

学习目标：1.会用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式。

2.能利用一元二次方程根的判别式判断根的情况。

3.学会运用公式法解一元二次方程。

学习过程：

一.拓通准备：

1.配方法解一元二次方程的步骤：

2.运用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a,b,c都是常数，且a≠0)

归纳总结：

1.根据上题，得出一元二次方程的求根公式_________________________________________.

2.什么叫做公式法：_______________________________.

3.一元二次方程根的判别式：________________________.

4.根据判别式，怎样判断一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况：

当b2-4ac>0,方程_____________________.当b2-4ac=0, 方程________________________.

当b2-4ac<0, 方程_______________________.

二.自我尝试：

不解方程，根据判别式，判断一元二次方程根的情况。

(1)x2- x=1=0 (2)x2-x+1=0 (3)4x2-4x+1=0

三. 典型例题：

用公式法解方程：(1)2x2+5x-3=0 (2)4x2=9x

四.自我训练：

用公式法解方程

(1) x 2+6x+5=0 (2)6Y2-13Y-5=0 (3) x2-3x-4=0 (4)2x2+1=3x

五.小结：

六.当堂检测：

1.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c都是常数，且a≠0)的求根公式：___________________________.用求根公式的前提条件是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬____ _________

2.一元二次方程x2+2= 2 x,其中a=____,b=____,c=___,b2-4ac=___.它的根是：________.

3.下列一元二次方程中，没有实数根的是(_____)

A: x2+2x-1=0 B: x2+ x+1=0 C: x2-2 x+2=0 D: -x2+x+2=0

4.解下列方程：

(1)2x2+11x+5=0 (2)5x2-2 x+3=0

3.3用公式法解一元二次方程(2)

学习目标：1.会熟练地把一元二次方程化成一般形式。

2.巩固公式法解一元二次方程。

学习过程：

一.拓通准备：

1.一元二次方程的一般形式：____________________________.

2.一元二次方程的求根公式：_____________________________.

3.解下列方程：(1)x2-2x-3=0 (2)x2- x+1=0：

二.自我尝试(一)：

把下列方程化为一般形式，然后用公式法解下列方程。

(1)(x+1)(3x-1)=0 (2)4-(2-Y)2=0

自我训练：解下列方程

(1)2x2+1=32x (2)3x2+5(2x+1)=0 (3)(x+2)2-2x=3 (4)x-2-x(x-2)=0

三.自我尝试(二)

(1)(2x+1)2=2x+1 (2)(x+1)(x-1)=2 x

四.拓展思维：

1.已知方程x2+kx-6=0的一个根式2，求k及另一个根。

2.如果三角形的两边分别为1和2，第三边式方程2x2-5x+3=0的根，求这个三角形的周长。

五.当堂检测：

1.方程x(2x-1) =3(2x-1)的根是( ) A. ; B.3; C. 和3; D. 和-3.

2.三角形的两边长分别是8和6，第三边是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，求解这个三角形的面积

3.两数的和是-12，积是35，求这两个数。

4.公式法解方程：(1)2x2+7x=4 (2)(x-2)(3x-5)=1

3.4用因式分解法解一元二次方程

学习目标：1.知道什么是因式分解法。

2.学会用因式分解法解特殊的一元二次方程。

3.通过因式分解法解一元二次方程，体会数学中的转化思想。

学习过程：

一.拓通准备：

1.因式分解法：_____________,_______________._______________,_______________.

2.把下列各式因式分解

(1)4x2-x (2)9x2-4

(3)x2-4x+4 (4)x2-5x+6

二.探求新知：

自学课本95页内容，归纳出：

1.什么是因式分解法：_______________________________.

2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：___________________.

三.自我尝试：

直接写出下列方程的 两个根：

(1)x(x-1)=0 (2)(y-2)(y+5)=0 (3)t2=2t

(3) (x+1)(3x-2) =0 (4)(x- )(5x+ )=0

四.典型例题

例1：用因式分解法解下列方程：(1)15x2=6x=0 (2)4x2-9=0

对应练习：解方程(1)16x2+10x=0 (2)(y-3)2=1

例2：解方程(1)(2x-1)2=(x-3)2 (2) x2-4x+4=0

对应练习：用因式分解法解方程：

(1)x-2-x(x-2)=0 (2)(x+1)2-25=0 (3)x2-5x+6=0 (4)(2x+1)2-6(2x+1)+8=0

五.当堂检测：

1.(x+a)(x+b)=0与方程x2-x-30=0同解，则a+b等于( )

A: 1 B : -1 C: 11 D:-11

2.用因式分解法解方程：

①x(x+3)=x+3 ②x2=8x ③2x(2x+5)=(x-1)(2x+5)

3.5 一元二次方程的应用(1)

学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系.

2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题.

学习过程：

前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。

想一想，列方程解应用题的关键是什么?

一.自主学习

例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少?

分析：这个问题中的等量关系是：

解：

例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少?

解：设矩形花圃ABCD的宽为x(m)，那么长____m.

根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.

解这个方程，得 =　　　　， =

根据题意，舍去_________________.

所以，花圃的宽是________m.

二.对应练习

1.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48 .求原正方形木板的面积.

2.有一块矩形的草坪，长比宽多4m.草坪四周有一条宽2m的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽.

三.当堂检测

1. 两个数的和是20，积是51，求这两个数.

2. 如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB=1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑;同时小亮从点B出发，

以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，

他们之间的直线距离仍然是1000 ?

3.5一元二次方程的应用(2)

学习目标1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题.

2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.

学习过程

一.自主学习

例1.某工厂2002年的年产值为500万元，2004年的产值为605万元，求2002-2004年该

厂年产值的增长率.

提示：如果设该厂2002-2004年产值的平均增长率为x，那么2003年的年产值为_____________________________，2004年的年产值为______________________________.

例2.某种药品原售价为每盒4元，两次降价后，每盒售价为2.56元，求该药品平均每次的降价率.

提示：如果设该药品平均每次的降价率为x，那么第一次降价后该药品每盒的售价为______________，第二次降价后该药品每盒的售价为_________________.

二.自我练习

1. 两个连续奇数的积是323，求这两个数.

2. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个?

三.当堂小结

四.当堂检测

1.某农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，该农场平均每年的增长率是多少?

2.某农机厂一月份生产联合收割机300台，为了满足夏收季节市场对联合收割机的需求，三月份比一月份多生产132台，求二、三两个月平均每月的增长率.

3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.

4. (山西)“五一”黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算：

(1)备用食品费，购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入(不再增加备用食品费)，因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元，现在每人需分摊多少元食品费?

(2)租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：

车型 座数 租车费(元/辆)

A 7 500

B 5 400

请选择最合算的租车方案，(仅从租车费角度考虑)并说明理由。

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