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 平行四边形及其性质

学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义

2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2

3、提高综合运用知识的能力

学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用.

学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

预习指导：

1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。

2、____________________________________是平行四边形。

3、平行四边形的性质是：_________________________________________.

学习过程：

一、 学习新知

1、平行四边形的定义

(1)定义：________________________________________叫做平行四边形。

(2)几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形

(3)定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，

反过来，平行四边形就一定具有性质。

(4)平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________.

2、平行四边形的性质

平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢?

已知：如图 ABCD，

求证：AB=CD，CB=AD.

分析：要证AB=CD，CB=AD.我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论.

证明：

总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。

在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD吗?利用我们学过的方法试一试。

证明：

通过上面的证明，我们得到了：

平行四边形的性质定理1是_______________________________________.

平行四边形的性质定理2是_______________________________________.

二、应用举例：

例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE.

例2、(1)在平行四边形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度数。

(2)在平行四边形ABCD中，∠A=∠B+400，求∠A的邻角的度数。

三、随堂练习

1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证AF=CE.

2、平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求四边形的各边的长。

3、在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度数。

四、课堂小结 ：1、平行四边形的概念。 2、平行四边形的性质定理及其应用。

五、当堂检测

1.填空：(1)在 ABCD中，∠A= ，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度.

(2)如果 ABCD中，∠A—∠B=240°，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度.

(3)若 ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，则AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm.

2.(选择)在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是( ).

(A)对角相等 (B)对角互补 (C)邻角互补 (D)内角和是

3.(选择)如图，在 ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，

EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有( ).

(A)4个 (B)5个 (C)8个 (D)9个

4.如图，在 ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=DF.

5、如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：AB=CE

1.1 平行四边形及其性质(第2课时)

学习目标：1、掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.

学习重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

学习难点：能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.

学习过程：

二、 学习新知

如图， EFGH中，连接对角线EG、HF，设它们分别交于点O.分别度量OH、OF的长度，你发现它们存在的数量关系是_________________.

猜想线段OG、OE之间的数量关系是_______________________.

证明你的猜想：

由此我们可以得到平行四边形的性质定理3_____________________________.

二、应用举例：

例题

已知： ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.

求证：OE=OF.

分析：要证OE=OF，根据图形分析，只要证明OE、OF所在的两个三角形__________≌___________.

证明：

若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立?若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c和图d)，例1的结论是否成立，说明你的理由.

三、随堂练习

1、在平行四边形中，周长等于48，

① 已知一边长12，求各边的长

② 已知AB=2BC，求各边的长

③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

2、如图， ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，

AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长

是____ ___cm.

3、 ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成 ， 的两条线段，则 ABCD的周长是__ ___ .

四、课堂小结 ：

平行四边形的对角线具备的性质是_________________________.

五、当堂检测

1.判断对错

(1)在 ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD. ( )

(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( )

(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( )

(4)平行四边形是轴对称图形. ( )

2.在 ABCD中，AC=6、BD=4，则AB的范围是__ ______.

3.在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为(x+3)，(x-4)和16，则这个四边形的周长是 .

4.公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB=15cm，AD=12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积.

1.2平行四边形的判定(第1课时)

学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边来判定平行四边形的方法.

2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.

3、培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.

学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。

预习指导：1、平行四边形定义是____________________________________.

2、平行四边形性质是(1)_____________________________________________.

(2)_______________________________________________________________.

3、平行四边形的判定定理是(1)_____________________________________.

(2)________________________________________________________________.

学习过程：

三、 学习新知

小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗?

请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：

(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?

(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?

(3)你能说出你的做法及其道理吗?

(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能用文字语言表述出来吗?

(5)证明以上发现的平行四边形的判定发方法。

平行四边形的判定定理(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

已知：

求证：

证明：

平行四边形的判定定理(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知：

求证：

证明：

二、应用举例

例题：已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，

求证：BE=DF.

三、随堂练习

已知：如图， ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.

求证：四边形BEDF是平行四边形.

四、课堂小结

平行四边形的判定定理(1)是________________________________________.

平行四边形的判定定理(2)是________________________________________.

五、当堂检测

1、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。

2、已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC， 求证：BE=CF

1.2平行四边形的判定(第2课时)

学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用对角线

来判定平行四边形的方法.

2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.

3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.

学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。

学习难点：几何推理方法的应用。

学习过程：

四、 学习新知

已知:如图，平行四边形HGFE中，HF与GE交与点O，HO=OF,GO=OE,

求证：四边形HGFE是平行四边形。

由此，我们可以得到平行四边形的判定方法：平行四边形的判定定理(3)__________________________________________________________.

五、 应用举例

例题：已知：如图 ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.

求证：四边形BFDE是平行四边形.

分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明.

证明：

三、随堂练习

1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

(1)若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形;

(2)若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形.

2.已知：如图， ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证：EO=OF.

3.证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

四、课堂小结 ：我们学习了平行四边形的定义，性质、判定。平行四边形的性质和判定尤为重要，同学们要掌握好。

希望同学们在证明每一道题时，认真分析已知条件，有些题可能是一题多解，比较一下使用哪种判定方法最简便。往往是已知条件最集中的地方，就是解决问题的突破口。

学生掌握平行四边形的五个判定方法，这些判定的方法是：

从边看： ① 的四边形是平行四边形;

② 的四边形是平行四边形;

③ 的四边形是平行四边形.

从对角线看： 的四边形是平行四边形.

从角看： 的四边形是平行四边形.

五、当堂检测

1、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形。( )

2、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若OC= 且 ,则四边形ABCD是平行四边形。

3、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( ).

A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C对角线互相垂直且相等 D对角线互相平分

4、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。

5、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN，且BM=DN 。

1.3 特殊的平行四边形(第1课时)

学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。

2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。

学习重点：掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

学习难点：掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用

学习过程：

一、 学习新知

自学教材13页—15页内容完成以下题目：

1、 叫做矩形。矩形是________的平行四边形。

2、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：

(1)矩形具有平行四边形具有的一切性质。

(2)矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:

特殊在“角”上的性质是_____________________________________________.

特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________.

3、从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.

二、应用举例：

例题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，∠A=30°，

AC=5 ，求△ADC的周长。

三、随堂练习

1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为( )

A、22.5° B、45° C、30° D、60°

2、已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上

一点， 于F，若 。求证：CE=EF。

3、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F的位置，BF交AD于E，AD=8,AB=4，求△BED的面积。

四、课堂小结

五、当堂检测

1、矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5厘米，则对角线长为 。

2、如图5，在矩形ABCD中， ，求这个矩形的周长。

3、折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位置上，折痕为DG。AB=2，BC=1。求AG的长。

1.3 特殊的平行四边形(第2课时)

学习目标：1、能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。

2、培养综合应用知识分析解决问题的能力。

学习重点：能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。

学习难点：培养综合应用知识分析解决问题的能力

学习过程：

二、 学习新知

自学教材16页—17页内容完成以下题目：

1、运用定义证明一个平行四边形是矩形，只需证明__________________.

2、矩形相对于一般平行四边形来讲，特殊在“对角线”和“角”上。通过自学，我们可以从“对角线”和“角”两方面得到矩形的判定定理：

矩形的判定定理(1)：________________________________________________.

矩形的判定定理(2)：________________________________________________.

二、应用举例

例题：

如图，M、N分别是平行四边形ABCD对

边AD、BC的中点，且AD=2AB，

求证：四边形PMQN是矩形。

分析：(1)从条件出发：由M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，我们很容易得到AM=________,从而得到∠AMB=∠_______.又因为AD∥BC,可得∠AMB=∠_______，所以可得∠_______=∠_______。同理可得∠BAN=∠MAN.

(2)要证四边形PMQN是矩形，根据矩形的判定定理，可证四边形PMQN有三个角是直角。

根据分析完成证明：

三、随堂练习

已知 的对角线 ， 相交于 ，△ 是等边三角形， ，求这个平行四边形的面积

四、课堂小结

五、当堂检测

1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( ).

A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三角形是否都为直角

2、能判断四边形是矩形的条件是( )

A、两条对角线互相平分 B、两条对角线相等

C、两条对角线互相平分且相等 D、两条对角线互相垂直。

3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.

4、已知四边形ABCD中AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形。

1.3 特殊的平行四边形(第3课时)

学习目标：1、理解菱形的定义。

2、探究归纳菱形的性质。

3、掌握菱形的判定方法。

4、培养综合运用知识分析解决问题的能力。

学习重点：理解菱形的定义。探究归纳菱形的性质。掌握菱形的判定方法。

学习难点：培养综合运用知识分析解决问题的能力。

学习过程：

三、 学习新知

自学教材17页—19页内容完成以下题目：

1、 叫做菱形。菱形是________的平行四边形。

2、从菱形的意义可以探究菱形具有的性质：

(1)菱形具有平行四边形具有的一切性质。

(2)菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:

特殊在“边”上的性质是_____________________________________________.

特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________.

3、我们可以从“对角线”和“角”两方面得到菱形的判定定理：

菱形的判定定理(1)：________________________________________________.

菱形的判定定理(2)：________________________________________________.

二、应用举例：

例题：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N.证明：四边形AMNE是菱形.

分析：(1)由已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高

很容易得到∠ABC=∠________,

又∠ABC的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N，可得∠_____=∠_____=∠_____=∠_____.

(2)要证四边形AMNE是菱形可证其四条边相等，或证对角线互相垂直平分。

根据分析完成证明：

三、随堂练习

1、菱形周长为40，一条对角线长为16，则另一条对角线长为 ,这个菱形的面积为 。

2、已知菱形的一边长为，4厘米，则它的周长为

3、在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，则再增加条件 即可使四边形ABCD成为平行四边形。若再补充条件__________,则四边形ABCD为菱形

4、矩形ABCD的对角线相交于O，DE∥AC,CE∥SD,求证四边形OCED是菱形。

四、课堂小结

五、当堂检测

1、棱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为( )

A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm

2、菱形ABCD中∠A=120°，周长为14.4，则较短对角线的长度为 。

3、菱形的面积为50平方厘米，一个角为30°，则它的周长为 。

4、在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，

则，∠CDF=( )

A、80° B、70° C、65° D、50°

5、小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC;小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是( )

A、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误

C、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误

6、下列命题中是真命题的是(　　　　)

A.对角线互相平分的四边形是菱形

B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

7、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF，过点C做CG∥EA交FA于H ，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。

8、AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证四边形AEDF是菱形。

1.3 特殊的平行四边形(第4课时)

学习目标：1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

学习重点：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算

学习难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

学习过程：

四、 学习新知

自学教材19页—20页内容完成以下题目：

1、 叫做正方形。正方形是________的矩形，也是_______的菱形。

2、从正方形的意义可以探究正方形具有的性质：

(1)正方形具有平行四边形具有的一切性质。

(2)正方形具有矩形具有的一切性质。

(3)正方形具有菱形具有的一切性质。

(4)正方形的对角线具有的性质是___________________________________.

3、正方形的判定方法是：

(1)_____________________________________的矩形是正方形。

(2)_____________________________________的菱形是正方形。

二、应用举例：

例题1：已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，

求证：AE=BE+DF.

例题2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.求证：四边形CFDE是正方形.

三、随堂练习

1.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF.

求证：EA⊥AF.

2.已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.求证：OE=OF

四、课堂小结：

正方形的概念、性质和判定，正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

五、当堂检测

1、正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____.

2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是( )

(A)AC=BD，AB∥CD，AB=CD (B)AD∥BC，∠A=∠C

(C)AO=BO=CO=DO，AC⊥BD (D)AO=CO，BO=DO，AB=BC

3、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为( )

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D. 正方形

4、下列说法是否正确，并说明理由.

①对角线相等的菱形是正方形;( )

②对角线互相垂直的矩形是正方形;( )

③对角线垂直且相等的四边形是正方形;( )

④四条边都相等的四边形是正方形;( )

⑤四个角相等的四边形是正方形.( )

5、如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，

将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF.

若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为( )

(A)10° (B)15° (C)20° (D)25°

6、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE=BF.求证：∠AFE=∠AEF

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