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 实际问题与一元二次方程

运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数 学模型解决实际问题.

教学目标

掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题.

通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题.

重难点关键

1.重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题.

2.难点与关键：建模.

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

(老师口问，学生口答)路程、速度和时间三者的关系是什么?

二、探 究新知

我们这一节课就是要 利用同学们刚才所回答的“路程=速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题.

请思考下面的二道例题.

例1.某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间?

分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可.

解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0

解得t= (s)

答：行驶200m需 s.

例2.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车.

(1)从刹车到停车用了多少时间?

(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

(3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s)?

分析：(1)刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0.因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此， 其平均速度为 =10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间.

(2)很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可.

(3)设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs.由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值.

解：(1)从刹车到停车所用的路程是25m;从刹车到停车的平均车速是 =10(m/s)[来源:学§科§网Z§X§X§K]

那么从刹车到停车所用的时间是 =2.5(s)

(2)从刹车到停车车速的减少值是20-0=20

从刹车到停车每秒平均车速减少值是 =8(m/s)

(3)设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为(20-8x)m/s

则这段路程内的平均车速为 =(20-4x)m/s

所以x(20-4x)=15

整理得：4x2-20x+15=0

解方程：得x=

x1≈4.08(不合，舍去)，x2≈0.9(s)

答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s.

三、巩固练习

(1)同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间.(精确到0.1s)

(2)刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间.(精确到0.1s)

四、应用拓展

例3.如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一 重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.

(1)小岛D和小岛F相距多少海里?

(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)

分析：(1)因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长.

(2)要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求.

解：(1) 连结DF，则DF⊥BC

∵AB⊥BC，AB=BC=200海里.

∴AC= AB=200 海里，∠C=45°

∴CD= AC=100 海里

DF=CF， DF=CD

∴DF=CF= CD= ×100 = 100(海里)

所以，小岛D和小岛F相距100海里.

(2)设相遇时补给船航行了x海里 ，那么DE=x海 里，AB+BE=2x海里，

EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程

x2=1002+(300-2x)2

整理，得3x2-1200x+100000=0

解这个方程，得：x1=200- ≈118.4

x2=200+ (不合题意，舍去)

所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.

五、归纳小结

本节课应掌握：

运用路程=速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题.

六、布置作业

1.教材P53 综合运用9 P58 复习题22 综合运用9.

2.选用作业设计:

一、选择题

1.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( ).

A.25 B.36 C.25或36 D.-25或-36

2.某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费);超过3km以 后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计)，某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程( ).

A.正好8km B.最多8km C.至少8km D.正好7km

二、填空题

1.以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s(单位：m)与标枪出手的速度v(单位：m/s)之间大致有如下关系：s= +2

如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是________(精确到0.1)

2.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下：

时间t(s) 1 2 3 4 ……

距离s(m) 2 8[来源:学科网] 18 3 2 ……

写出用t表示s的关系式为_______.

三、综合提高题

1.一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来.

(1)小球滚动了多少时间?

(2)平均每秒小球的运动速度减少多少?

(3)小球滚动到5m时约用了多少时间(精确到0.1s)?

2.某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由.

答案:

一、1.C 2.B

二、1.19.3m/s 2.s=2t2

三、

1.(1)小球滚动的平均速度= =5(m/s) 小球滚动的时间： =4(s)

(2) =2.5(m/s)

(3)小球滚动到5m时约用了xs 平均速度= =

依题意，得：x• =5，整理得：x2-8x+4=0

解得：x=4±2 ，所以 x=4-2

2.能.设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，则(90-30x)2+(20x)2=502

整理，得：13x2-54x+56=0，即(13x-28)(x-2)=0，x1=2 ，x2=2，

∴最早再过2小时能侦察到.

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