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 直接开平方法

教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.

教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重难点关键

1.重点：运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.

2.难点与关键：通 过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题

问题1.填空

(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.

问题2.如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

老师点评：

问题1：根据完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)( )2 .

问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2

则PB=x，BQ=2x

依题意，得： x•2x=8

x2=8

根据平方根的意义，得x=±2

即x1=2 ，x2=-2

可以验证，2 和-2 都是方程 x•2x=8的两根，但是移动时间不能是负值.

所以2 秒后△PBQ的面积等于8cm2.

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2 ，如果x换元为2t +1，即(2t+1)2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢?

(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2

即2t+1=2 ，2t+1=-2

方程的两根为t1= - ，t2=- -

例1：解方程：x2+4x+4=1

分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.

解：由已知，得：(x+2)2=1

直接开平方，得：x+2=±1

即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率.

分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就 应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则： 10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接开平方，得1+x= ±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.

所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

三、巩固练习

教材P36 练习.

四、应用拓展

例3.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?

分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是(1+x)，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+x)2.

解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.

那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

把(1+x)当成一个数，配方得：

(1+x+ )2=2.56，即(x+ )2=2.56

x+ =±1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6

方程的根为x1=10%，x2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.

五、归纳小结

本节课应掌握：

由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)，那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)，那么mx+n=± ，达到降次转化之目的.

六、布置作业

1.教材P 45 复习巩固1、2.

2.选用作业设计:

[来源:学科网]

一、选择题

1.若x2-4x+p=(x+q)2，那么p、q的值分别是( ).

A.p=4，q=2 B.p=4，q=-2 C.p=-4，q=2 D.p=-4，q=-2

2.方程3x2+9=0的根为( ).

A.3 B.-3 C.±3 D.无实数根

3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是( ).

A.(x- )2= ，x= ±

B.(x- )2=- ，原方程无解

C.(x- )2= ，x1= + ，x2=

D.(x- )2=1，x1= ，x2=-

二、填空题

1 .若8x2-16=0，则x的值是_________.

2.如果方程2(x-3)2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________.

3.如果a、b为实数，满足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______.

三、综合提高题

1.解关于x的方程(x+m)2=n.

2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长2 5m)，另三边用木栏围成，木栏长40m.

(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?

(2)鸡场的面积能达到210m2吗?

3.在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁 丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗?

答案:

一、1.B 2.D 3.B

二、1.± 2.9或-3 3.-8

三、1.当n≥0时，x+m=± ，x1= -m，x2=- -m. 当n<0时，无解

2.(1)都能达到.设宽为x，则长为40-2x，

依题意，得：x(40-2x)=180

整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+ ，x2=10- ;

同理x(40-2x)=200，x1=x2=10，长为40-20=20.

(2)不能达到.同理x(40-2x)=210，x2-20x+105=0，

b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到.

3.因要制矩形方框，面积尽可能大，

所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形.

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