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 直线和圆的位置关系

教学目标

(一)教学知识点

1.能判定一条直线是否为圆的切线.

2.会过圆上一点画圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

(二)能力训练要求

1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力.

2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力.

(三)情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.

教学重点

探索圆的切线的判定方法，并能运用.

作三角形内切圆的方法.

教学难点

探索圆的切线的判定方法.

教学 方法

师生共同探索法.

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3.5.2A)

第二张：(记作§3.5.2B)

第三张：(记作§3.5.2C)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切 线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径.

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件.

Ⅱ.新课讲解

1.探索切线的判定条件

投影片(§3.5.2A)

如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，

(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化?

(2)当∠α等于多少度时，点O到l 的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?

[师]大家可以先画一个圆，并画出直 径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动.观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见.

[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1

[师]回答得非常精彩.通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠ α=90°时，d达到最大.此时d=r;之后当∠α继续增大时，d逐渐变小.第(2)题就解决了.

[生](2)当∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径.此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d=r时，直线与⊙ O相切.

[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线?请大家互相交流.

[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点.

[师]很好.这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.

2.做一做

已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线.

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手.

[生]如下图.

(1)连接OA.

(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线 .

3.如何作三角形的内切圆.

投影片(§3.5.2B)

如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切.

分析：假设符号条件的圆已 作出，则它的圆心到三角形三边 的距离相等.因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离.

解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图).

(2)过I作ID⊥BC，垂足为D.

(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.

⊙I就是所求的圆.

[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么?

[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID =IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID=I N，∴ID=IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的.

[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个.并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter).

4.例题讲解

投影片(§3.5C)

如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.

求证：AT是⊙O的切线.

分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT=∠ATB，又由∠ABT=45°，所以∠ATB=45°.

由三角形内角和可证∠TAB=90°，即AT⊥AB.

请大家自己写步骤.

[生]证明：∵AB=AT，∠ABT=45°.

∴∠ATB=∠ABT=45°.

∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°.

∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线.

Ⅲ.课堂练习

随堂练习

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

1.探索切线的判定条件.

2.会经过圆上一点作圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

4.了解三角形的内切圆，三角形的内心概念.

Ⅴ.课后作业

习题3.8

Ⅵ.活动与探究

已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.

求证：DC是⊙O的切线.

分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3=∠4，又因为OD=OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC=∠OBC=90°.

证明：连结OD.

∵OA=OD，∴∠1=∠2，

∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4.

∴∠3=∠4.

∵OD=OB，OC=OC，

∴△ODC≌△OBC.

∴∠ODC=∠OBC.

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC=90°.

∴∠ODC=90°.

∴DC是⊙O的切线.

板书设计

§3.5.2 直线和圆的位置关系(二)

一、1.探索切线的判定条件

2.做一做

3.如何作三角形的内切圆

4.例题讲解

二、课堂练习

三、课时小 结

四、课后作业 

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