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 图形的平移

【教师寄语】数学来源于实践，多动手才能学好数学

【学习目标】

1、 能结合实际例子说出平移的定义，知道平移的两要素。

2、 理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等的性质的性质。

3、 能根据平移的性质进行简单的平移作图。

【学习重难点】

重点：探究平移变换的基本性质，画简单图形的平移图。

难点：决定平移的两个主要因素。

【预习指导】

1、平移的定义：

平移的两要素：

2、平移的性质：

3、预习疑难摘要：

【学习过程】

一、自主学习

自学课本48页---49页内容，回答下列问题

(1) 试举出生活中平行移动的例子。并思考：平行移动的过程中，图形的现状和大小是否发生了变化?

(2) 什么叫做图形的平移?平移后图形的位置是有什么确定的?

二、探究活动

如图2-2(2)试探究以下问题：

(1) 点A、B、C平移后的对应点分别是谁?连接AA′,BB′,CC′，这三条线 段位置和长度有怎样的关系?

(2) 线段AB、BC、AC的对应线段分别是哪一条线段?它们的位置与长度有怎 样的关系?

(3) ∠A、∠B、∠C的对应角分别是哪个角?它们是否相等?

(4) △ABC与△A′B′C′的形状、大小有什么关系?

由此可以归纳出平移的性质：

(1)

(2)

(3)

三、初试身手

如图，(1)如果将线段AB沿AD方向平移到DC，那么 DC= , DC∥ 。

(2)如果DC=A, 且 DC ∥AB ，连接AD,那么线段DC可以看做是由线段

沿 方向平移得到的。

(3)线段BC可以看做是由线段

沿 方向平移得到的。

四、挑战自我

如图，将△ABC沿AA′的方向平移，平移后顶点A平移到A’处，你能画出△ABC平移后的图形吗?

(1)要确定△ABC平移后的图形，只需确定 的位置，再依次连接即可;

(2)点B的对应点是如何确定的?有几种不同的方法?根据是什么?

(3) 由此可以归纳平移作图的基本方法是：

。

五、典型例题

例1、(课本50页例1)用上面归纳的方法完成

六、巩固练习

1、所示，△ABE沿射线XY方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中平行且相等的线段和全等的三角形。

2　如图所示，将∠ABC沿射线XY平移至∠A/B/C/，且BC与A/B/交点为D，图中有哪些相等的角?

七、拓展延伸

如图所示有两个村庄A和B被一条河隔开，现要架一座桥(桥与河岸垂直)，请你设计一种方案，使由A到B的路程最短。

八、自我小结：

我的收获：

我的困惑：

【当堂达标测试】

1、如图所示，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=33O，求∠DEF的度数。

2、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90º，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A´B´C´的位置。

(1)若平移距离为3，求△ABC与△A´BC´的重叠部分的面积;

(2)若平移距离为x(0≤x≤4)，求△ABC与△A´B´C´的重叠部分的面积y，并写出y与x的关系式。

3、如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。，

2.1图形的平移(第二课时)

【教师寄语】数学的真正价值在于应用

【学习目标】

1.知道平面直角坐标系中点的左右或上下平移与点的坐标变化规律。

2.能根据要求在平面直角坐标系画出一个简单图形平移后的位置，并写出各对应点的坐标。

【学习重难点】

重点：点的左右或上下平移与点的坐标变化规律。

难点：点的左右或上下平移与点的坐标变化规律的灵活运用。

【学习过程】

探究一：在如图所示的平面直角坐标系中，

点A的坐标是(-2,1)，

1.将点A 分别向上、向下、向左、向右平

移5个单位长度，所得到的点的坐标分别

是： ;

2.将点A向右平移5个单位长度，再向上平

移3个单位长度得到点B，请你坐标系中标出点

B的位置，它的坐标是 ;

3.将点A向左平移2个单位长度，再向下平

移4个单位长度得到点C，请你坐标系中标出点C的位置，它的坐标是 ;

4.如果将点A向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度得到点D，那么点D的坐标是 ;

5.怎样移动点A可以得到点E(5，-4)?

根据以上问题，请你归纳一下平面直角坐标系中点的左右或上下平移与点的坐标变化规律：

在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标加上一个正数a，则该点 ，

横坐标减去一个正数a，则该点 ;

如果把一个点的纵坐标加上一个正数b，则该点 ，

纵坐标减去一个正数b，则该点 。

训练题组一：

1.、在平面直角坐标系中，把点P(-1，-2)向上平移4个单位长度所得点的坐标是 。

2、将P(- 4，3)沿x轴负方向平移两个单位长度，再沿y轴负方向平移两个单位长度，所得到的点的坐标为 。

3、 将点A(4，3)向 平移 个单位长度后，其坐标的变化是 。

4、已知AB∥x轴，A点的坐标为(3，2)，并且AB=5，则B的坐标为 。

探究二：如图，三角形ABC三个顶点的坐标A(4,3),B(3,1),.C(1,2)

(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，

有A1 ,B1 ,C1 。

猜想:三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系，为什么?

(1) 将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，猜想:三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?

(3)将三角形ABC三个顶点的横坐标都加 3，纵坐标不变;纵坐标都加2，横坐标不变分别能得到什么结论?

(4)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减 6，纵坐标减5，又能得到什么结论?

(5)由此，你得到了什么结论?

训练题组二：

1、已知三角形的三个顶点坐标分别是(-1，4)，(1，1)，(-4，-1)，现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是( )

A、(-2，2)，(3，4)，(1，7) B、(-2，2)，(4，3)，(1，7)

C、(2，2)，(3，4)，(1，7) D、(2，-2)，(3，3)，(1，7)

2、如图，与(1)的三角形相比,(2)(3)中的三角形发生了哪些变化? 图中直角三角形顶点的坐标分别发生了什么变化?

探究三：课本52页例2

根据下面的问题进行探索，并完成例题：

(1)要确定平移后的线段，只要确定 的位置，就可以画出线段了;

(2)根据前面的规律，C、D、E、F各点的坐标分别是

(3)你能先画出线段CD、EF的位置，再写出C、D、E、F各点的坐标吗?

探究四：课本53页例3

根据下面的问题进行探索，并完成例题：

(1) 要确定△A′B′C′的位置，需要确定哪些元素?

(2) 点A经过怎样的平移可以得到点A′?

(3) 点B、点C经过同样的平移得到点B′、C′，它们的坐标分别是什么?

训练题组三：

课本53页练习：1、2

【自我小结】

我的收获：

我的困惑：

【当堂达标测试】

1. 将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________ 。

2. 线段CD是由线段AB平移得到的。点A(–1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(–4，–1)的对应点D的坐标为______________。

3. 有相距5个单位的两点A(- 3,a),B(b,4),AB//x轴，则a= ,b= 。

4. 三角形DEF是由三角形ABC平移得到的，点A(-1，-4)的对应点为D(1，-1)，则点B(1，1)的对应点E、点C(-1，4)的对应点F的坐标分别为( )

A、(2,2)，(3,4) B、(3,4)，(1,7)

C、(-2,2)，(1,7) D、(3,4)，(2,-2)

5. 如图，三角形ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点为P1(x0+5,y0+3),将三角形ABC作同样的平移到三角形A1B1C1。求A1、B1、C1的坐标。

6.如图 ，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，可以得到A’B’C’D’，画出平

移后的图形，并指出其各个顶点的坐标。

2.2图形的旋转(第一课时)

【教师寄语】只要努力，什么都有可能发生

【学习目标】

1.能结合实际例子说出旋转的定义，知道旋转的三要素。

2.理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质。

3.能根据旋转的性质进行简单的旋转作图。

【学习重难点】

重点：类比平移与旋转的异同，掌握旋转的定义和基本性质

难点：探索旋转的不变性.旋转角的性质，对应点到旋转中心的距离相等.并多角度的理解图形的形成过程.

【预习指导】

1、旋转的定义：

旋转的三要素：

2、旋转的性质：

3、预习疑难摘要：

【学习过程】

一、自主学习

自学课本55页---56页内容，回答下列问题

1.试举出生活中旋转的例子。并思考：旋转的过程中，图形的现状和大小是否发生了变化?

2.什么叫做图形的旋转?旋转后图形的位置是有什么确定的?

3.指出课本实验中的旋转中心、旋转方向和旋转角。

二、探究活动

根据课本图2-13(2)试探究以下问题：

1. 点A、B旋转后的对应点分别是谁?分别测量OA、OA′、OB、OB′的长度和∠AOA′、

∠BOB′的大小，你发现了什么?

2.△ABC的三边和三个内角的对应元素分别是谁?它们的大小有什么系?

3.△ABC与△A′B′C′是全等三角形吗?为什么?

三、合作交流

1、试归纳旋转的性质：

(1)

(2)

2、图形的旋转和图形的中心对称有什么关系?

四、初试身手

如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，将△ADE按顺时针方向旋转到△ABF的位置。

(1)写出旋转中心和旋转角;

(2)写出△ADE与△ABF所有的对应边和对应角;

(3)连接EF,判定△AEF的形状。

五、动手操作

完成课本57页“观察与思考”中的三个问题，然后讨论：

(1) 要画出一个图形绕某个点旋转后的图形，可以先在这个图形上选择几个

，确定它们旋转后的位置，这样，问题转化为点的作图。

(2) 要画出一个点旋转后的位置，你采用了什么方法?根据是什么?

六、巩固练习

课本58页练习1,2

七、自我小结：

我的收获：

我的困惑：

【当堂达标测试】

1、试试你的判断能力：一个图形经过旋转

①图形上的每一个点到旋转中心的距离相等. ( )

②图形上可能存在不动点. ( )

③图形上任意两点的连线与其对应点的连线相等. ( )

2、钟表上的分针匀速旋转一周需要60分钟

①分针的旋转中心在哪儿?每分钟旋转角是多少度?时针呢?

②经过20分钟，分针旋转多少度?

③分针旋转150°最少需要多少时间? C

3、如图，△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，

4、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形.

2.2图形的旋转(第二课时)

【教师寄语】自信是成功的第一步

【学习目标】

1.能在方格纸上画出一个图形绕某个点旋转后的图形;

2.知道平面直角坐标系中的点绕坐标原点旋转90°、180°、270°后坐标变化规律，并能运用该规律解决简单的实际问题。

【学习重难点】

重点：平面直角坐标系中的点绕坐标原点旋转90°、180°、270°后坐标变化规律。

难点：灵活运用该规律解决简单的实际问题。

【学习过程】

探究一： 课本58页例1

1.按照上节课总结得方法，先在图形上找几个关键点，画出它们旋转后的位置，再连接即可，动手做一做;

2.试画出△CDO绕点O按顺时针方向旋转90°所得到的图形;

3.试画出△CDO绕点O按顺时针方向旋转180°所得到的图形，联系中心对称的知识，你发现了什么?

训练题组一：

1、 课本59页练习：1

2、 如图，在方格纸中2画出字母N它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90º后的位置。

探究二：

(1) 在右下边的直角坐标系中找出点A(2,1),把它绕原点按逆时针方向旋转90°得到点B，试画出点B的位置，你能求出点B的坐标吗?

(2)把(1)中的90°改为180°、270°再试一试;

(3) 再换一个点试试，你发现了什么规律?

(4) 根据你所总结的规律完成下图：

绕原点按逆时针方向旋转90°

点A(a,b) 点B( )

绕原点按逆时针方向旋转90°

点C( )

绕原点按逆时针方向旋转90°

点D( )

(5)如果改为顺时针旋转，情况怎样?请你也用示意图表示出来。

典型例题：课本58页例4

1.提示：由已知，B可以看作点A绕原点按逆时针方向旋转90°而得到的，根据上面的规律可以直接写出B的坐标;

2.你还有别的方法吗?与同伴交流。

训练题组二：

课本62页练习：1、2

【自我小结】

我的收获：

我的困惑：

【当堂达标测试】

1、在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是( )

A B C D

2、如图，正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，G为DC中点，

那么图形所在的平面上不能作为旋转中心的点是(　　).

A.A点　　　B.C点　　　C.D点　　　D.G点

3、画图：将△ABC绕点C按逆时针旋转900，得到△EFC，试画出△EFC的位置。

4、如图，在平面直角坐标系中，将梯形ABCD绕原点O按逆时针方向旋转90°得到梯形A1B1C1D1，请你写出A1、B1、C1、D1各点的坐标，并在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1。

2.3图形的位似

【教师寄语】数学能使人聪明，也能给人快乐

【学习目标】

1.了解位似图形及其有关概念，理解位似图形的性质。

2.能根据位似图形的性质进行简单的作图。

3.能利用位似图形的性质解决简单的实际问题。

【学习重难点】

重点：运用定义和性质进行简单的位似图形的作图和计算。

难点：探索并掌握位似图形的定义和性质。

【预习指导】

1、位似图形的定义：

2、位似图形的性质：

3、预习疑难摘要：

。

【学习过程】

一、自主学习

自学课本64页内容，回答下列问题

1.什么叫做位似图形、位似中心?

2.位似图形一定是相似图形吗?相似图形一定是位似图形吗?

3.图2-27中的不同的位似图形有什么区别?

(提示：从两个图形与位似中心的位置来考虑)

二、合作探究

1、在图2-27中，指出各对应点和对应边;

2、在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与对应边的比有什么关系?再换一对对应点试一试。

3、由此你能归纳出什么结论?与同伴交流。

三、典型例题

例1 (课本65页例1)请按照下面的步骤进行探索：

(1) 要确定△A′B′C′的位置，需要确定哪些元素?

(2) 如何确定点A′、B′、C′的位置?你有几种方法?试分别画出图形。

(3) 你能用定义说明两个图形是位似图形吗?

(4) 与原来的图形相比，所画图形是放大了还是缩小了?通过本例你有什么收获?

例2 (课本66页例2)

问题1：两个矩形的面积比是多少?对应边的比试多少?为什么?

问题2：仿照例1，用两种不同的方法画出所要画的图形，并写出各个顶点的坐标。

问题3：观察各对对应点的坐标，你发现了什么规律?如果所画的矩形的面积是矩形OABC的4倍，对应点的坐标又有什么规律?

四、拓展延伸

已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,2)、B(-2,3)、C(-1,0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′、B′、C′

(1) 作出△A′B′C′

(2) △A′B′C′与△ABC是位似图形吗?如果是，位似中心是哪个点?对应边的比试多少?

五、巩固练习

1、课本66页1、2题

2、课本68页1、2题

六、自我小结

我的收获：

我的困惑：

七、当堂检测

1、如果两个位似图形的每组________所在的直线都_________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________，这时的相似比又叫做________。

2、位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于_____________;位似图形的对应角__________，对应线段__________(填：“相等”、“平行”、“相交”、“在一条直线上”等)

3、位似图形的位似中心，有的在对应点连线上，有的在___________的延长线上。

4、如果两个位似图形成中心对称，那么这两个图形__________(填“一定”、“不”或“可能”等)

5、如图D，E分别是AB，AC上的点。 (1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗?为什么? (2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么?

6、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-3,0)、(5,0)和(0，4)，试画出以点O为位似中心与△ABC位似的图形，使它与

△ABC的对应边的比为3:2，并写出各个顶点的坐标

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