船有触礁的危险吗

编辑:sx_liuwy

2013-03-14

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 船有触礁的危险吗

本节在前两节的基础上进一步学习用锐角三角函数解决实际问题,经历把实际问题转化成数学问题的过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.因此本节选取了现实生活中的几个题材:船右触礁的危险吗,小明测塔的高度,改变商场楼梯的安全性能等,使学生真正体会到三角函数在解决实际问题中必不可少的重要地位.提高了学生学习数学的兴趣.

因此,本节的重点是让学生亲历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用,能够将实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,发展数学的应用意识和解决问题的能力.教学时,教师可让学生在审清题意的基础上,自己画出示意图,将实际问题转化为数学问题,这是本节课的重点也是难点.同时,让学生对“三角学”的发展史有所了解.

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.

(二)能力训练要求

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.

(三)情感与价值观要求

1.在经历弄清实际问题题意的过程中,画出示意图,培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.

2.选择生活中学生感兴趣的题材,使学生能积极参与数学活动,提高学习数学、学好数学的欲望.

教具重点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.

教学难点

根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图.

教学方法

探索——发现法

教具准备

多媒体演示

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

[师]直角三角形就像一个万花筒,为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后,接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系,它使我们现实生活中不可能实现的问题,都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用,例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

下面我们就来看一个问题(多媒体演示).

海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书:船有触礁的危险吗)

Ⅱ.讲授新课

[师]我们注意到题中有很多方位,在平面图形中,方位是如何规定的?

[生]应该是“上北下南,左西右东”.

[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图,然后说明你是怎样画出来的. [

[生]首先我们可将小岛A确定,货轮B在小岛A的南偏西55°的B处,C在B的正东方,且在A南偏东25°处.示意图如下.

[师]货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定?

[生]根据题意,小岛四周10海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里,则无触礁的危险,如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC,D为垂足,即AD的长度.我们需根据题意,计算出AD的长度,然后与10海里比较.

[师]这位同学分析得很好,能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意,有哪些已知条件呢?

[生]已知BC°=20海里,∠BAD=55°,∠CAD=25°.

[师]在示意图中,有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?

[生]在Rt△ACD中,只知道∠CAD=25°,不能求AD.

[生]在Rt△ABD中,知道∠BAD=55°,虽然知道BC=20海里,但它不是Rt△ABD的边,也不能求出AD.

[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑?

[生]我发现这两个三角形有联系,AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差,即BC=BD-CD.BD、CD的对角是已知的,BD、CD和边AD都有联系.

[师]有何联系呢?

[生]在Rt△ABD中,tan55°= ,BD=ADtan55°;在Rt△ACD中,tan25°= ,CD=ADtan25°.

[生]利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程,即ADtan55°-ADtan25°=20.

[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实,在解决数学问题时,很多地方都可以用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.[

下面我们一起完整地将这个题做完.

[师生共析]解:过A作BC的垂线,交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD,从而BD=AD

tan55°,CD=ADtan25°,由BD-CD=BC,又BC=20海里.得

ADtan55°-ADtan25°=20.

AD(tan55°-tan25°)=20,

AD= ≈20.79(海里).

这样AD≈20.79海里>10海里,所以货轮没有触礁的危险.

[师]接下来,我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的,并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.

多媒体演示

想一想你会更聪明:

如图,小明想测量塔

CD的高度.他在A处

仰望塔顶,测得仰角

为30°,再往塔的方

向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)

[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中,30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?

[生]当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC,60°的仰角指∠DBC.

[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路,然后回答.

(教师留给学生充分的思考时间,感觉有困难的学生可给以指导)

[生]首先,我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边,在Rt△ADC中,tan30°= ,

即AC= 在Rt△BDC中,tan60°= ,

即BC= ,又∵AB=AC-BC=50 m,得

- =50.

解得CD≈43(m),

即塔CD的高度约为43 m.

[生]我有一个问题,小明在测角时,小明本身有一个高度,因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.

[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑,很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.

如果设小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6 m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?

[生]示意图如

右图所示,由前面的

解答过程可知CC′≈

43 m,则CD=43+

1.6=44.6 m.即考虑小明的高度,塔的高度为44.6 m.

[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题,想请同学们帮忙解决一下.

多媒体演示:

某商场准备改善原来

楼梯的安全性能,把

倾角由40°减至35°,

已知原楼梯长为4 m,

调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)

请同学们根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,(先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法)

[生]在这个问题

中,要注意调整前后

的梯楼的高度是一个

不变量.根据题意可

画㈩示意图(如右

图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长,BC是原楼梯的占地长度;AD是调整后的楼梯的长度,DB是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角,∠ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为:

如图,AB⊥DB,∠ACB=40°,∠ADB=35°,AC=4m.求AD-AC及DC的长度.

[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它,开始吧!

[生]解:由条件可知,在Rt△ABC中,sin40°= ,即AB=4sin40°m,原楼梯占地

长BC=4cos40°m.

调整后,在Rt△ADB中,sin35°= ,则AD= m.楼梯占地长

DB= m.

∴调整后楼梯加长AD-AC= -4≈0.48(m),楼梯比原来多占DC=DB-BC= -4cos40°≈0.61(m).

Ⅲ.随堂练习

1.如图,一灯柱AB被

一钢缆CD固定,CD与地面

成40°夹角,且DB=5 m,

现再在C点上方2m处加固

另一条钢缆ED,那么钢缆

ED的长度为多少?

解:在Rt△CBD中,∠CDB=40°,DB=5 m,sin40°= ,BC=DBsin40°=5sin40°(m).

在Rt△EDB中,DB=5 m,

BE=BC+EC=2+5sin40°(m).

根据勾股定理,得DE= ≈7.96(m).

所以钢缆ED的长度为7.96 m.

2.如图,水库大坝的

截面是梯形ABCD,坝顶AD

=6 m,坡长CD=8 m.坡底

BC=30 m,∠ADC=135°.

(1)求∠ABC的大小:

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)

解:过A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,E、F为垂足.

(1)在梯形ABCD中.∠ADC=135°,

∴∠FDC=45°,EF=AD=6 m.在Rt△FDC中,DC=8 m.DF=FC=CD.sin45°=4 (m).

∴BE=BC-CF-EF=30-4 -6=24-4 (m).

在Rt△AEB中,AE=DF=4 (m).

tanABC= ≈0.308.

∴∠ABC≈17°8′21″.

(2)梯形ABCD的面积S= (AD+BC)×AE

= (6+30)×4 =72 (m2).

坝长为100 m,那么建筑这个大坝共需土石料100×72 ≈10182.34(m3).

综上所述,∠ABC=17°8′21″,建筑大坝共需10182.34 m3土石料.

Ⅳ.课时小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题,提高了我们分析和

解决实际问题的能力.

其实,我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”,了解“三角学”的发展,相信你会对“三角学”更感兴趣.

Ⅴ.课后作业

习题1.6第1、2、3题.

Ⅵ.活动与探究

(2003年贵州贵

阳)如图,某货船以

20海里/时的速度

将一批重要物资由A

处运往正西方向的B

处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问:B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据: ≈1.4,

≈1.7)

[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题,需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.

[结果](1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.

依题意,得∠BAC=30°,在Rt△ABD中,BD= AB= ×20×16=160<200,

∴B处会受到台风影响.

(2)以点B为圆心,200海里为半径画圆交AC于E、F,由勾股定理可求得DE=120.

AD=160 .

AE=AD-DE=160 -120,

∴ =3.8(小时).

因此,陔船应在3.8小时内卸完货物.

板书设计

1.4 船有触礁的危险吗

一、船布触礁的危险吗

1.根据题意,画出示意图.将实际问题转化为数学问题.

2.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.

3.解释最后的结果.

二、测量塔高

三、改造楼梯 

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