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 船有触礁的危险吗

本节在前两节的基础上进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题的过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力.因此本节选取了现实生活中的几个题材：船右触礁的危险吗，小明测塔的高度，改变商场楼梯的安全性能等，使学生真正体会到三角函数在解决实际问题中必不可少的重要地位.提高了学生学习数学的兴趣.

因此，本节的重点是让学生亲历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，能够将实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行三角函数的计算，并能进一步对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力.教学时，教师可让学生在审清题意的基础上，自己画出示意图，将实际问题转化为数学问题，这是本节课的重点也是难点.同时，让学生对“三角学”的发展史有所了解.

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.

(二)能力训练要求

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.

(三)情感与价值观要求

1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.

2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.

教具重点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.

教学难点

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.

教学方法

探索——发现法

教具准备

多媒体演示

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

下面我们就来看一个问题(多媒体演示).

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)

Ⅱ.讲授新课

[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?

[生]应该是“上北下南，左西右东”.

[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的. [

[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.

[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?

[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.

[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?

[生]已知BC°=20海里，∠BAD=55°，∠CAD=25°.

[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?

[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.

[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.

[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?

[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.

[师]有何联系呢?

[生]在Rt△ABD中，tan55°= ，BD=ADtan55°;在Rt△ACD中，tan25°= ，CD=ADtan25°.

[生]利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=20.

[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.[

下面我们一起完整地将这个题做完.

[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD

tan55°，CD=ADtan25°，由BD-CD=BC，又BC=20海里.得

ADtan55°-ADtan25°=20.

AD(tan55°-tan25°)=20，

AD= ≈20.79(海里).

这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.

[师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.

多媒体演示

想一想你会更聪明：

如图，小明想测量塔

CD的高度.他在A处

仰望塔顶，测得仰角

为30°，再往塔的方

向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?

[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.

[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.

(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)

[生]首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°= ，

即AC= 在Rt△BDC中，tan60°= ,

即BC= ，又∵AB=AC-BC=50 m，得

- =50.

解得CD≈43(m)，

即塔CD的高度约为43 m.

[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.

[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.

如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?

[生]示意图如

右图所示，由前面的

解答过程可知CC′≈

43 m，则CD=43+

1.6=44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.

[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.

多媒体演示：

某商场准备改善原来

楼梯的安全性能，把

倾角由40°减至35°，

已知原楼梯长为4 m，

调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)

请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)

[生]在这个问题

中，要注意调整前后

的梯楼的高度是一个

不变量.根据题意可

画㈩示意图(如右

图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度;AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：

如图，AB⊥DB，∠ACB=40°，∠ADB=35°，AC=4m.求AD-AC及DC的长度.

[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧!

[生]解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°= ，即AB=4sin40°m，原楼梯占地

长BC=4cos40°m.

调整后,在Rt△ADB中，sin35°= ，则AD= m.楼梯占地长

DB= m.

∴调整后楼梯加长AD-AC= -4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC=DB-BC= -4cos40°≈0.61(m).

Ⅲ.随堂练习

1.如图，一灯柱AB被

一钢缆CD固定，CD与地面

成40°夹角，且DB=5 m，

现再在C点上方2m处加固

另一条钢缆ED，那么钢缆

ED的长度为多少?

解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5 m，sin40°= ，BC=DBsin40°=5sin40°(m).

在Rt△EDB中，DB=5 m，

BE=BC+EC=2+5sin40°(m).

根据勾股定理，得DE= ≈7.96(m).

所以钢缆ED的长度为7.96 m.

2.如图，水库大坝的

截面是梯形ABCD，坝顶AD

=6 m，坡长CD=8 m.坡底

BC=30 m，∠ADC=135°.

(1)求∠ABC的大小：

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)

解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足.

(1)在梯形ABCD中.∠ADC=135°，

∴∠FDC=45°，EF=AD=6 m.在Rt△FDC中，DC=8 m.DF=FC=CD.sin45°=4 (m).

∴BE=BC-CF-EF=30-4 -6=24-4 (m).

在Rt△AEB中，AE=DF=4 (m).

tanABC= ≈0.308.

∴∠ABC≈17°8′21″.

(2)梯形ABCD的面积S= (AD+BC)×AE

= (6+30)×4 =72 (m2).

坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料100×72 ≈10182.34(m3).

综上所述，∠ABC=17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m3土石料.

Ⅳ.课时小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和

解决实际问题的能力.

其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.

Ⅴ.课后作业

习题1.6第1、2、3题.

Ⅵ.活动与探究

(2003年贵州贵

阳)如图，某货船以

20海里/时的速度

将一批重要物资由A

处运往正西方向的B

处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据： ≈1.4，

≈1.7)

[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.

[结果](1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.

依题意，得∠BAC=30°，在Rt△ABD中，BD= AB= ×20×16=160<200，

∴B处会受到台风影响.

(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.

AD=160 .

AE=AD-DE=160 -120，

∴ =3.8(小时).

因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.

板书设计

1.4 船有触礁的危险吗

一、船布触礁的危险吗

1.根据题意，画出示意图.将实际问题转化为数学问题.

2.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.

3.解释最后的结果.

二、测量塔高

三、改造楼梯 

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