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 确定圆的条件

学习目标:

通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略.

学习重点:

1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” .

2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形.只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了.

学习难点:

分析作圆的方法，实质是设法找圆心.过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨.

学习方法:

教师指导学生自主探索交流法.

学习过程:

一、举例：

【例1】 下面四个命题中真命题的个数是( )

①经过三点一定可以做圆;

②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆;

③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形;

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

【例2】 在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径.

【例3】 如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处?请画出图，并说明理由.

【例4】 阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.

如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖.

回答下列问题：

(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm.

(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm.

(3)边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm.

【例5】 已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2-3x+1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.

【例6】 如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分.

二、随堂练习

一、填空题

1.经过平面上一点可以画 个圆;经过平面上两点A、B可以作 个圆，这些圆的圆心在 .

2.经过平面上不在同一直线上的三点可以作 个圆.

3.锐角三角形的外心在 ;直角三角形的外心在 ;钝角三角形的外心在 .

二、选择题

4.下列说法正确的是( )

A.三点确定一个圆 B.三角形有且只有一个外接圆

C.四边形都有一个外接圆 D.圆有且只有一个内接三角形

5.下列命题中的假命题是( )

A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

B.三角形的外心到三角形三边的距离相等

C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上

D.三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心

6.下列图形一定有外接圆的是( )

A.三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.菱形

三、课后练习

1.下列说法正确的是( )

A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点

D.过四点A、B、C、D的圆不存在

2.已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( )

A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12

C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14

3.一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( )

A.任意三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为( )

A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm

5.等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍.

A. B. C. D.

6.已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )

A.2 B.6 C.12 D.7

7.三角形的外心具有的性质是( )

A.到三边距离相等 B.到三个顶点距离相等

C.外心在三角形外 D.外心在三角形内

8.对于三角形的外心，下列说法错误的是( )

A.它到三角形三个顶点的距离相等

B.它与三角形三个顶点的连线平分三内角

C.它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径

D.以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点

9.下列说法错误的是( )

A.过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆

B.任意一个圆都有无数个内接三角形

C.任意一个三角形都有无数个外接圆

D.同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上

10.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是( )

A.菱形 B.等腰梯形 C.矩形 D.正方形

11.若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个.

12.直角三角形三个顶点都在以 为圆心，以 为半径的圆上，直角三角形的外心是 .

13.若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= .

14.△ABC的三边3，2， ，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= .

15.在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为 .

16.外心不在三角形的外部，这三角形的形状是 .

17.锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向 边移动，∠A=90°，外心位置是 .

18.△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为 .

19.如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心.

20.求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径.

21.已知线段a、b、c.求作：(1)△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c;(2)⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上.(作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹)

22.已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径.

23.如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观.为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径?

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