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 中考数学复习：归纳与猜想

一、 知识综述

归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。 猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。

猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。

二、理解掌握

例1、用等号或不等号填空：

(1)比较2x与x 2+1的大小

①当x=2时，2x x 2+1;

②当x=1时，2x x 2+1;

③当x=-1时，2x x 2+1.

(2)可以推测：当x取任意实数时，2x x 2+1.

分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。

解：(1)<，=，<; (2)≤。

例2、观察下列分母有理化的计算：

， ， ，

…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：

=____。

分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下的是什么。

解：

=

=

=2002—1

=2001。

例3、 观察下列数表：

1 2 3 4 … 第一行

2 3 4 5 … 第二行

3 4 5 6 … 第三行

4 5 6 7 … 第四行

… … … …

第一列 第二列 第三列 第四列

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为____，第n行与第n列交叉点上的数应为____。(用含正整数n的式子表示)

分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。

解： 11 ， 2n—1.

例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。

操作的次数 1 2 3 ... 10 ..... n ……

正方形个数 4 7 10 ……

分析：解本题的关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。

解：操作的次数是 10时，正方形个数为31;操作的次数是 n时，正方形个数为1+3n.

例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边(包括顶点)有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是______。

n=2 n=3 n=4

S=3 S=6 S=9

分析：题目给出了“每条边(包括顶点)有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S=3n—3。

解：S=3n—3。

三、拓宽应用

例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：

序号 方程 方程的解

1

__

__

2

3

… … … …

⑵若方程 的解是 ， ，求a，b的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?

⑶请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。

分析：通过解方程不难求出：x1=3,x2=4，将 ， 代入方程易求a=12,b=5。

本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。

解：(1)解方程 得，x1=3,x2=4;

(2)将 ， 代入方程 ，易求得a=12,b=5;

(3)第n个方程是： ，它的解是： 。

例7、图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直放行上的边长均为b)：

●在图1中，将线段 向右平移1个单位到 ，得到封闭图形 (即阴影部分)

●在图2中，将折线 向右平移1个单位到 ，得到封闭图形 (即阴影部分)

(图1) (图2) (图3)

⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影;

⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：

=____; =____; =____

⑶联想与探索：

如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的。

分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。(1)和(2)两问并不困难，第(3)问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b，这样面积就不难求了。

解：(1)

(2) =ab--b; =ab--b; =ab—b;

(3) 空白部分表示的草地面积是ab—b。(可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b)

例8、阅读下列材料，按要求解答问题。

⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：∠A=2∠B。我们由此出发来进行思考。在图a中，作斜边上的高CD，由于∠B=30°，可知c=2b，∠ACD=30°，于是AD= ，BD= ，由△CDB∽△ACB ，可知 ，即 ，同理 ，于是 。

图a 图b 图c

对于图b由勾股定理有 ，由于b=c，故也有 ，这两块三角尺都具有性质 ，在△ABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗?暂时把我们的设想作为一个猜测：

如图c，在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，则 ，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种?选出一个正确的将其序号填在括号内( )

① 分类的思想方法;②转化的思想方法;③由特殊到一般的思想方法;④数形结合的思想方法。

⑵这个猜测是否正确?请证明。

分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。故选③;一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。

解：(1)③;

(2)猜测是正确的。

证明：延长BA到D，使AD=AC=b，连结CD，则∠ACD=∠ADC，

∵∠BAC=∠ACD+∠ADC，∴∠BAC=2∠ADC

∵∠BAC=2∠ABC ∠ABC=∠ADC，且BC=CD=a，∴△ACD∽△CBD

想一想：还有其他证明方法吗?

四、巩固训练

1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数：

___

2、观察下列图形并填表。

1

1 1

2

梯形的个数 1 2 3 4 5 6 …… n

周长 5 8 11 14 ……

3、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)个棋子，每个图案的棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子____来表示。

• • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • •

n=2 • • • • • • •

S=4 n=3 • • • • • •

S=8 n=4 • • • • •

S=12 n=5 S=16

4、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”

① ( ) ② ( )

③ ( ) ④ ( )

⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：________。

⑶请用数学知识说明你所写的式子的正确性。

5、已知AC、AB是⊙O的弦，AB>AC。(1)如图9，能否在AB上确定一个点E，使AC =AE•AB，为什么?(2)如图10，在条件(1)的结论下延长EC到P，连结PB。如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系并说明理由。(3)在条件(2)的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗?为什么?(重庆市中考试题)

A A D

C C E O

O

P

B B

图9 图10

本题三个小题全是结论探索题。

参考答案

1、 ， 2、17，20，2+3n 3、4n-4 4、(1)√√√√，(2)

5、(1)能，连结BC，作∠ACE=∠B。(证明略) (2)PB是⊙O的切线(证明略)

(3)是。(提示：利用切割线定理和PE=PB、PD=2PE)。

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