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 一元二次方程与二次函数

【例1】已知：关于 的方程 .

⑴求证： 取任何实数时，方程总有实数根;

⑵若二次函数 的图象关于 轴对称.

①求二次函数 的解析式;

②已知一次函数 ，证明：在实数范围内，对于 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 均成立;

⑶在⑵条件下，若二次函数 的图象经过点 ，且在实数范围内，对于 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 ，均成立，求二次函数 的解析式.

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数 恰好是抛物线 的一条切线，只有一个公共点(1，0)。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将 用只含a的表达式表示出来,再利用 ,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：(1)分两种情况：

当 时，原方程化为 ，解得 ， (不要遗漏)

∴当 ，原方程有实数根.

当 时，原方程为关于 的一元二次方程，

∵ .

∴原方程有两个实数根. (如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了)

综上所述， 取任何实数时，方程总有实数根.

(2)①∵关于 的二次函数 的图象关于 轴对称，

∴ .(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0)

∴ .

∴抛物线的解析式为 .

②∵ ，(判断大小直接做差)

∴ (当且仅当 时，等号成立).

(3)由②知，当 时， .

∴ 、 的图象都经过 . (很重要，要对那个等号有敏锐的感觉)

∵对于 的同一个值， ，

∴ 的图象必经过 .

又∵ 经过 ，

∴ . (巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算)

设 .

∵对于 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 均成立，

∴ ，

∴ .

又根据 、 的图象可得 ，

∴ .(a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)

∴ .

∴ .

而 .

只有 ，解得 .

∴抛物线的解析式为 .

【例2】关于 的一元二次方程 .

(1)当 为何值时，方程有两个不相等的实数根;

(2)点 是抛物线 上的点，求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下，若点 与点 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 的直线，若存在，请求出直线的解析式;若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

(1)由题意得

解得

解得

当 且 时，方程有两个不相等的实数根.

(2)由题意得

解得 (舍) (始终牢记二次项系数不为0)

(3)抛物线的对称轴是

由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握)

与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏)

另设过点 的直线 ( )

把 代入 ，得 ，

整理得

有且只有一个交点，

解得

综上，与抛物线有且只有一个交点 的直线的解析式有 ，

【例3】

已知P( )和Q(1， )是抛物线 上的两点.

(1)求 的值;

(2)判断关于 的一元二次方程 =0是否有实数根，若有，求出它的实数根;若没有，请说明理由;

(3)将抛物线 的图象向上平移 ( 是正整数)个单位，使平移后的图象与 轴无交点，求 的最小值.

【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，

十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。

【解析】

(1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.

所以，抛物线对称轴 ，所以， .

(2)由(1)可知，关于 的一元二次方程为 =0.

因为， =16-8=8 0.

所以，方程有两个不同的实数根，分别是

， .

(3)由(1)可知，抛物线 的图象向上平移 ( 是正整数)个单位后的解析式为 .

若使抛物线 的图象与 轴无交点，只需 无实数解即可.

由 = = <0，得

又 是正整数，所以 得最小值为2.

【例4】已知抛物线 ，其中 是常数.

(1)求抛物线的顶点坐标;

(2)若 ，且抛物线与 轴交于整数点(坐标为整数的点)，求此抛物线的解析式.

【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给 ,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.

(1)依题意，得 ，

∴

∴抛物线的顶点坐标为

(2)∵抛物线与 轴交于整数点，

∴ 的根是整数.

∴ 是整数.

∵ ，

∴ 是整数.

∴ 是整数的完全平方数.

∵ ，

∴ . (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)

∴ 取1，4，

当 时， ; 当 时， .

∴ 的值为2或 .

∴抛物线的解析式为 或 .

【例5】已知：关于 的一元二次方程 ( 为实数)

(1)若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围;

(2)在(1)的条件下，求证：无论 取何值，抛物线 总过 轴上的一个固定点;

(3)若 是整数，且关于 的一元二次方程 有两个不相等的整数根，把抛物线 向右平移 个单位长度，求平移后的解析式.

【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.

解：(1)

∵方程有两个不相等的实数根,

∴

∵ ,

∴ 的取值范围是 且 .

(2)证明：令 得 .

∴ .

∴ (这样做是因为已经知道判别式是 ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)

∴抛物线与 轴的交点坐标为 ,

∴无论 取何值，抛物线 总过定点

(3)∵ 是整数 ∴只需 是整数.

∵ 是整数，且 ,

∴

当 时，抛物线为 .

把它的图象向右平移 个单位长度，得到的抛物线解析式为

【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系(韦达定理)近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分 发散思考

【思考1】已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为正整数.

(1)求 的值;

(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数 的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式;

(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

与此图象有两个公共点时， 的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

【思考2】已知：关于 的一元二次方程

(1)若 求证：方程有两个不相等的实数根;

(2)若12

【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.

【思考3】已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc

(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

(1)若方程①的根为正整数，求整数k的值;

(2)求代数式 的值;

(3)求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.

【思考4】已知：关于 的一元二次方程 .

(1)求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程的两个实数根 满足 ，求 的值.

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出 ,

发现 都是关于m的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

解：(1)由题意得， .

∴ .

∵ 为正整数，

∴ .

(2)当 时，方程 有一个根为零;

当 时，方程 无整数根;

当 时，方程 有两个非零的整数根.

综上所述， 和 不合题意，舍去; 符合题意.

当 时，二次函数为 ，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为 .

(3)设二次函数 的图象与 轴交于

两点，则 ， .

依题意翻折后的图象如图所示.

当直线 经过 点时，可得 ;

当直线 经过 点时，可得 .

由图象可知，符合题意的 的取值范围为 .

【思考2解析】

证明：

∴方程有两个不相等的实数根。

(2)

∵方程有两个整数根，必须使 且m为整数.

又∵12

∴　5< <9.

∴m=24

【思考3解析】

解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.

依题意 k-1≠0.

∴ .

∵ 方程的根为正整数，k为整数,

∴ k-1=1或k-1=2.

∴ k1= 2, k2=3.

(2)解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点(1，0)，

∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .

∴

=

(3)证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.

由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数

根.

( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.

Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).

∵ 方程kx=x+2的根为正实数，

∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.

由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.

∴ 4ac(k-1)>0.

∵ (a-kc)20,

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.

证法二: 若ac>0,

∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,

∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc0.

(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).

由证法一知 k-1>0,

∴ b2-4ac> b2-4akc0.

∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.

综上, 方程②有两个不相等的实数根.

【思考4解析】

(1) 　　-

不论 取何值，方程总有两个不相等实数根

(2)由原方程可得

∴ 　　--

∴

又∵

∴

∴　 　-

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