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 中考数学二轮复习：几何探索题巡视

探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。

一、实验型探索题

例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在△ABC中，AB=AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。

图1

问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗?

探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心(正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心)引线段，才能将这个正三角形的面积m等分?

如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点(如图2(1))，这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形);再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点(如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形);最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起(如图2(3))，这样就能把这个正三角形的面积4等分了。

图2

(1)实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。

图3

(2)猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分?叙述你的分法并说明理由。

(3)拓展与延伸：怎样从正方形(如图4)的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分(叙述分法即可，不要求说明理由)?

图4

(4)问题解决：怎样从正n边形(如图5)的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分?(叙述分法，不要求说明理由)

图5

分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。

解：(1)先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了(图略)。

(2)先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。

理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。

(3)先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。

(4)连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n边形的面积m等分了。

二、操作型探索题

例2.已知线段AC=8，BD=6。

(1)已知线段AC⊥BD于O(O不与A、B、C、D四点重合)，设图6(1)、图6(2)和图6(3)中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则S1=_________，S2=_________，S3=_________;

图6

(2)如图6(4)，对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A、B、C、D重合)的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的结论;

(3)当线段BD与AC(或CA)的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。

分析：题(1)实际上是将BD沿AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题(2)是AC沿BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题(3)是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。

解：(1)24 24 24

(2)对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A、C、B、D重合)的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。证明如下：

显然，

(3)所围成的封闭图形的面积仍为24。

三、观察猜想型探索题

例3. (山西省)如图7，正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。

图7

(1)观察并猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论;

(2)图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形?若存在，请说明旋转过程;若不存在，说明理由。

分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。

解：(1)BE=DG，证明如下：

在Rt△BCE和Rt△DCG中，BC=CD，CE=CG，

∴△BCE≌△DCG。故BE=DG。

(2)将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG重合。

四、图形计数型探索题

例4.如图8，在图(1)中，互不重叠的三角形有4个，在图(2)中，互不重叠的三角形有7个，在图(3)中，互不重叠的三角形有10个，…，则在图(n)中互不重叠的三角形有_______个(用含n的代数式表示)。

图8

分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。

解：图(1)：1+1×3=4;图(2)：1+2×3=7;图(3)：1+3×3=10。

所以图(n)中有1+3n个互不重叠的三角形，应填3n+1。

五、其他类型探索题

例5.如图9，已知AC、AB是⊙O的弦，AB>AC。

(1) (2)

图9

(1)在图9(1)中，判断能否在AB上确定一点E，使得AC2=AE•AB，并说明理由;

(2)在图9(2)中，在条件(1)的结论下，延长EC到P。连接PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由。

分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题(1)是作出满足线段关系式的图形，题(2)是判断图形中的一些线段的相互关系。

解：(1)作法有多种，这里举一例。如图10，在⊙O上取点D，使 = ，连接CD交AB于点E，则有AC2=AE•AB。连接BC，显然△ACE∽△ABC，则AB：AC=AC：AE，故AC2=AE•AB。

图10 图11

(2)如图11，过点B作⊙O的直径BF，连接CF、BC。可以证明∠PBC+∠FBC=90°，即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切线。

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