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 开放性探索题

一、填空题

1.如图1,若AC、BD、EF两两互相平分于点O,请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.

(1) (2) (3)

2.如图2,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是______.(注:将你认为正确的结论都填上)

3.若抛物线过点(1,0),且其解析式中二次项系数为1,则它的解析式为___________.(任写一个).

4.如图3,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是_________或_________.

5.写出一个当x>0时,y随x的增大而增大的函数解析式________.

6.在△ABC和△ADC中,下列三个论断:①AB=AD,②∠BAC=∠DAC,③BC=DC,将其中的两个论断作条件,另一个论断作为结论写出一个真命题__________.

7.请用“如果……,那么……”的形式写一个命题:__________________.

8.写出一个图象位于一、三象限的反比例函数表示式_________.

9.如图,请写出等腰梯形ABCD(AB∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征:_________,_________,__________.

二、解答题

1.如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).

①AE=AD ②AB=AC ③OB=OC ④∠B=∠C.

2.如图,已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB= ,BC=1,连结BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.

(1)求证:△BFG∽△FEG,并求出BF的长.

(2)观察图形,请你提出一个与点P相关的问题,并进行解答.

3.阅读材料,解答问题:

材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图①所示),过P1、P2、P3分别作P1H2、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3,则S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3= (9+1)×2- (9+4)×1- (4+1)×1=1.,即△P1P2P3的面积为1”

问题:

(1)求四边形P1P2P3P4和四边形P2P3P4P5的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案);

(2)猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积,并说明理由(利用图②).

(3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c,其他条件不变,猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案).

4.如图,梯形ABCD,AB∥DC,AD=DC=CB,AD、BC的延长线相交于G,CE⊥AG于E,CF⊥AB于F.

(1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);

(2)选择(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由.

参考答案

一、

1.△DOF≌△BOE

2.①②③

3.y=x2-1或y=x2-2x+1等

4.AB=DC,∠ACB=∠DBC

5.y=x或y=- 或y=x2等

6.已知:AB=AD,∠BAC=∠DAC,求证:BC=DC.

或已知:AB=AD,BC=DC, 求证:∠BAC=∠DAC.

7.略

8.y= ,其中k>0.

9.∠A=∠B,∠D=∠C,AD=BC

二、

1.已知:① 或② 或③

求证:①∠B=∠C,或②AE=AD,或③AB=AC.

证明:① △ABE≌△ACD ∠B=∠C;

或② △ABE≌△ACD AE=AD;

或③ △ABE≌△ACD AB=AC.

2.(1)证明:∵△ABC≌△DCE≌△FEG,

∴BC=CE=EG= BG=1,即BG=3.

∴FG=AB= ,∴ =

又∠BGF=∠FGE,∴△BFG∽△FEG.

∵△FEG是等腰三角形,∴△BFG是等腰三角形.

∴BF=BG=3.

(2)A层问题(较浅显的,仅用到了1个知识点).

例如:①求证:∠PCB=∠REC(或问∠PCB与∠REC是否相等?)等;

②求证:PC∥RE.(或问线段PC与RE是否平行?)等.

B层问题(有一定思考的,用到了2～3个知识点).例如:①求证:∠BPC=∠BFG等,求证:BP=PR等.

②求证:△ABP∽△CQP等,求证:△BPC∽△BRE等;

③求证:△APB∽△DQR等;④求BP:PF的值等.

C层问题(有深刻思考的,用到了4个或4个以上知识点或用到了(1)中结论).

例如:①求证:△APB≌△ERF;

②求证:PQ=RQ等;

③求证:△BPC是等腰三角形;

④求证:△PCQ≌△RDQ等;

⑤求AP:PC的值等;

⑥求BP的长;

⑦求证:PC= (或求PC的长)等.

A层解答举例.

求证:PC∥RE.

证明:∵△ABC≌△DCE,

∴∠PCB=∠REB.

∴PC∥RE.

B层解答举例.

求证:BP=PR.

证明:∵∠ACB=∠REC,∴AC∥DE.

又∵BC=CE,∴BP=PR.

C层解答举例.

求AP:PC的值.

解:∵AC∥FG,∴ ,∴PC= .

∵AC= ,∴AP= - = ,∴AP:PC=2.

3.解:(1)如图,由题意知:

P1(-3,9),P2(-2,4),P3(-1,1),P4(0,0).

S四边形P1P2P3P4=S△P1H1P4-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3-S△P3H3P4

= ×9×3- ×(9+4)×1- ×(4+1)×- ×1×1=4.

S四边形P2P3P4P5=4.

(2)四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积为4.

理由:

过点Pn-1、Pn、Pn+1、Pn+2分别作Pn-1Hn-1、PnHn、Pn+1Hn+1、Pn+2Hn+2垂直于x轴,垂足分别为Hn-1、Hn、Hn+1、Hn+2.

设Pn-1、Pn、Pn+1、Pn+2四点的横坐标依次为x-1,x,x+1,x+2,则这两个点的纵坐标分别为(x-1)2,x2,(x+1)2,(x+2)2.

所以四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积

=梯形Pn-1Hn-1Hn+1Pn+2的面积-梯形Pn-1Hn-1HnPn的面积-梯形PnHnHn+1Pn+1-梯形Pn+1Hn+1Hn+2Pn+2的面积

= [(x-1)2+(x+2)2]- [(x-1)2+x2]- •[x2+(x+1)2]- [(x+1)2+(x+2)2]

=(x-1)2+(x+2)2-x2-(x+1)2=4.

(3)四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积为4.

4.(1)DG=CG;DE=BF;CF=CE;AF=AE;AG=BG.

(2)举例说明AG=BG.

∵在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,

∴梯形ABCD为等腰梯形.

∴∠GAB=∠GBA.∴AG=BG.

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