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 情境应用问题

Ⅰ、综合问题精讲：

以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：(1)提供的背景材料新，提出的问题新;(2)注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”;(3)注重考查问题的转化能力.解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】如图(8)，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张.

(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米;又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.

(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明理由(参考数据 ， ).

解：(1)100;(2) ;

⑶作 于点H，可算得 (千米)，设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则 ，算得 (小时)，此时，受

台风侵袭地区的圆的半径为： (千米)<141(千米)

∴城市O不会受到侵袭。

点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形.利用三角函数

知识来解决，也可借助于方程.

【例2】如图2-1-5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海

域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10

海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里/时的速度

向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：

⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置)

⑵确定巡逻艇的追赶方向(精确到0.1°).

解：设需要t小时才能追上，则A B=24 t，OB=26t.

(l)在Rt△AOB中，OB2= OA2+ A B2，

即(26t)2=102 +(24 t)2

解得t=±l，t=-1不合题意，舍去，t=l，

即需要1小时才能追上.

(2)在Rt△AOB中，因为sin∠AOB=ABOB = 24t26t =1213 ≈0.9231 ，所以∠AOB≈6 7.4°，

即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4°.

点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图.

【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。

⑴按该公司要求可以有几种购买方案?

⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案?

解：(1)设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(6-x)台。

由题意，得 ，

解这个不等式，得 ，即x可以取0、1、2三个值，

所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：

方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台;

方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台;

方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台;

(2)按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个;按方案二购买机器，所耗资金为1×7+5×5=32万元;，新购买机器日生产量为1×100+5×60=400个;按方案三购买机器，所耗资金为2×7+4×5=34万元;新购买机器日生产量为2×100+4×60=440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。

【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元;小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?

解：根据题意，可有三种购买方案;

方案一：只买大包装，则需买包数为： ;

由于不拆包零卖.所以需买10包.所付费用为30×10=300(元)

方案二：只买小包装.则需买包数为：

所以需买1 6包，所付费用为1 6×20=320(元)

方案三：既买大包装.又买小包装，并设买大包装 包.小包装 包.所需费用为W元。

则

∵ ，且 为正整数，

∴ 9时， 290(元).

∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少.为290元。

答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。

点拨：数学知识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。

【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为α，β，OA=2米，tanα=35 , tanβ=23 ,位于点O正上方2 米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米(图中E点)。

⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式;

⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C?

解：⑴由题意可知：抛物线顶点坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为 即

∵点D在抛物线上，所以2=

∴抛物线解析式为：

⑵过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则

解得：

则点C的坐标为(20,12)，当x=20时，函数值y=

所以能点燃目标C.

点拨：本题是三角函数和抛物线的综合应用题，解本题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化为数学问题来解决.

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