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 数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.

1　“四点共圆”作为证题目的

例1.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.

分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM.

欲证M，N，P，Q四点共圆，须证

MK•KN=PK•KQ，

即证(MC′-KC′)(MC′+KC′)

=(PB′-KB′)•(PB′+KB′)

或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ①

不难证明 AP=AM，从而有

AB′2+PB′2=AC′2+MC′2.

故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2

=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)

=KC′2-KB′2. ②

由②即得①，命题得证.

例2.A、B、C三点共线，O点在直线外，

O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，

△OCA的外心.求证：O，O1，O2，

O3四点共圆.

分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1= ∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1= ∠OO3A=∠OCA.

由∠OO2O1=∠OO3O1 O，O1，O2，O3共圆.

利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.

2　以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.

(1)证角相等

例3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AB>CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM=∠CBK.

求证：∠DMA=∠CKB.

分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，

有∠DAB=∠CMK.∵∠DAB+∠ADC

=180°，

∴∠CMK+∠KDC=180°.

故C，D，K，M四点共圆 ∠CMD=∠DKC.

但已证∠AMB=∠BKA，

∴∠DMA=∠CKB.

(2)证线垂直

例4.⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，

BC交于K，N(K与N不同).△ABC

外接圆和△BKN外接圆相交于B和

M.求证：∠BMO=90°.

分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.

连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，

∴∠COK+∠CMK=180° C，O，K，M四点共圆.

在这个圆中，由

OC=OK OC=OK ∠OMC=∠OMK.

但∠GMC=∠BMK，

故∠BMO=90°.

(3)判断图形形状

例5.四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.

试证：IAIBICID是矩形.

分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

∠AICB=90°+ ∠ADB=90°+

∠ACB=∠AIDB A，B，ID，IC四点

共圆.

同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时

∠AICID=180°-∠ABID =180°- ∠ABC，

∠AICIB=180°-∠ADIB=180°- ∠ADC，

∴∠AICID+∠AICIB

=360°- (∠ABC+∠ADC)

=360°- ×180°=270°.

故∠IBICID=90°.

同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.

(4)计算

例6.正方形ABCD的中心为O，面积为1989㎝2.P为正方形内

一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.则PB=__________

分析：答案是PB=42㎝.怎样得到的呢?

连接OA，OB.易知O，P，A，B

四点共圆，有∠APB=∠AOB=90°.

故PA2+PB2=AB2=1989.

由于PA:PB=5:14，可求PB.

(5)其他

例7.设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).

分析：设△EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上.

作正△EFG的高EK，易知E，K，G，

D四点共圆 ∠KDE=∠KGE=60°.同

理，∠KAE=60°.故△KAD也是一个正

三角形，K必为一个定点.

又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，而面积S= 也最小.当KF通过B点时，边长为2• ，这时边长最大，面积S=2 -3也最大.

例8.NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q.求证：RS>MQ.

分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′.连接

MQ′，SQ′.

易证N，M，R，P四点共圆，从而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.

根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称 MQ′=MQ.

又易证M，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(

∠RMS=90°)，MQ′是一条弦(∠MSQ′<90°)，故RS>MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS>MQ.

练习题

1.⊙O1交⊙O2 于A，B两点，射线O1A交⊙O2 于C点，射线O2A

交⊙O1 于D点.求证：点A是△BCD的内心.

(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2

四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)

2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2;同样得到B1，B2，C¬1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆;再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.

4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.

(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)

5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)

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