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 数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M;引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.

分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP

=NC，故点M是△P′BP的外心，点

N是△P′PC的外心.有

∠BP′P= ∠BMP= ∠BAC，

∠PP′C= ∠PNC= ∠BAC.

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.

从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.

由于P′P平分∠BP′C，显然还有

P′B:P′C=BP:PC.

例2.在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，

△CSQ的外心，作出六边形

O1PO2QO3S后再由外

心性质可知

∠PO1S=2∠A，

∠QO2P=2∠B，

∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.

∴∠O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K

= (∠O2O1S+∠SO1K)

= (∠O2O1S+∠PO1O2)

= ∠PO1S=∠A;

同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

例3.AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB

，BC相交.从A，C，D，E，F分别

作该直线的垂线，垂足为A′，C′，

D′，E′，F′.

易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，

∴EE′=DD′+FF′.

有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.

分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.

(1)a2，b2，c2成等差数列 △∽△′.

若△ABC为正三角形，易证△∽△′.

不妨设a≥b≥c，有

CF= ，

BE= ，

AD= .

将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得

CF= ，BE= ，AD= .

∴CF:BE:AD = : :

=a:b:c.

故有△∽△′.

(2)△∽△′ a2，b2，c2成等差数列.

当△中a≥b≥c时，

△′中CF≥BE≥AD.

∵△∽△′，

∴ =( )2.

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ”，有 = .

∴ = 3a2=4CF2=2a2+b2-c2

a2+c2=2b2.

三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.

例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为

△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.

分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径

为R.由△A2A3A4知

=2R A2H1=2Rcos∠A3A2A4;

由△A1A3A4得

A1H2=2Rcos∠A3A1A4.

但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.

易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 A1H2，

故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.

同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.

例6.H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.

求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.

分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设

BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外

接圆半径为R，⊙H的半径为r.

连HA1，AH交EF于M.

A =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2

=r2+(AM2-MH2)， ①

又AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2

=AH•AH1-AH2=AH2•AB-AH2

=cosA•bc-AH2， ②

而 =2R AH2=4R2cos2A,

=2R a2=4R2sin2A.

∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③

由①、②、③有

A =r2+ •bc-(4R2-a2)

= (a2+b2+c2)-4R2+r2.

同理， = (a2+b2+c2)-4R2+r2，

= (a2+b2+c2)-4R2+r2.

故有AA1=BB1=CC1.

四、内心

三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：

设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).

例7.ABCD为圆内接凸四边形，取

△DAB，△ABC，△BCD，

△CDA的内心O1， O2，O3，

O4.求证：O1O2O3O4为矩形.

(1986，中国数学奥林匹克集训题)

证明见《中等数学》1992;4

例8.已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.

分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢?

如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ= .

∵QK•AQ=MQ•QN，

∴QK=

= = .

由Rt△EPQ知PQ= .

∴PK=PQ+QK= + = .

∴PK=BK.

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.

五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于

一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，

旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.

式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.

分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c)=(p-a)(p-b).

∵p(p-c)= (a+b+c)• (a+b-c)

= [(a+b)2-c2]

= ab;

(p-a)(p-b)= (-a+b+c)• (a-b+c)

= [c2-(a-b)2]= ab.

∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①

观察图形，可得

ra=AF-AC=p-b，

rb=BG-BC=p-a，

rc=CK=p.

而r= (a+b-c)

=p-c.

∴r+ra+rb+rc

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

=4p-(a+b+c)=2p.

由①及图形易证.

例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明： • = .

(IMO-12)

分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知

OD=OA′•

=A′B′• •

=A′B′• ，

O′E= A′B′• .

∴ .

亦即有

• =

= = .

六、众心共圆

这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.

例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点;

(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.

分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，

IF=EF=FA，

IB=AB=BC.

再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有：

BI+DI+FI≥2•(IP+IQ+IS).

不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.

∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.

∴AB+BC+CD+DE+EF+FA

=2(BI+DI+FI)

≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)

=AD+BE+CF.

I就是一点两心.

例12.△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.

分析：设AM为高亦为中线，取AC中点

F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设

CD交AM于G，G必为△ABC重心.

连GE，MF，MF交DC于K.易证：

DG:GK= DC:( )DC=2:1.

∴DG:GK=DE:EF GE∥MF.

∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MF OD丄GE.但OG丄DE G又是△ODE之垂心.

易证OE丄CD.

例13.△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.

分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.

易证△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB.

利用内心张角公式，有

∠AIB=90°+ ∠C=105°，

∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

∵∠AKB=30°+ ∠DAO

=30°+ (∠BAC-∠BAO)

=30°+ (∠BAC-60°)

= ∠BAC=∠BAI=∠BEI.

∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK，

∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.

同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.

由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

例14.锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距

离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.

求证：1•d垂+2•d外=3•d重.

分析：这里用三角法.设△ABC外接圆

半径为1，三个内角记为A，B，

C. 易知d外=OO1+OO2+OO3

=cosA+cosB+cosC，

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

∵AH1=sinB•AB=sinB•(2sinC)=2sinB•sinC，

同样可得BH2•CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2•(sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB) ②

∴ =2，

∴HH1=cosC•BH=2•cosB•cosC.

同样可得HH2，HH3.

∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB) ③

欲证结论，观察①、②、③，

须证(cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，

B′，C ′.则AA′+BB′+CC′>△ABC周长.

2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.

3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C<90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)

6.△ABC的边BC= (AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.

7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.

8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.

9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心;(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合

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