中考数学专题:动态几何问题

编辑:sx_liuwy

2013-03-05

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 中考数学专题:动态几何问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图,在梯形 中, , , , ,梯形的高为 .动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动;动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动.设运动的时间为 (秒).

(1)当 时,求 的值;

(2)试探究: 为何值时, 为等腰三角形.

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M,N是在动,意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。

【解析】

解:(1)由题意知,当 、 运动到 秒时,如图①,过 作 交 于 点,则四边形 是平行四边形.

∵ , .

∴ . (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)

∴ . (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)

∴ .解得 .

【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解

【解析】

(2)分三种情况讨论:

① 当 时,如图②作 交 于 ,则有 即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)

∵ ,

② 当 时,如图③,过 作 于H.

则 ,

③ 当 时,

则 .

.

综上所述,当 、 或 时, 为等腰三角形.

【例2】在△ABC中,∠ACB=45º.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.

(2)如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么?

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC= , ,CD= ,求线段CP的长.(用含 的式子表示)

【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。

【解析】:

(1)结论:CF与BD位置关系是垂直;

证明如下: AB=AC ,∠ACB=45º,∴∠ABC=45º.

由正方形ADEF得 AD=AF ,∵∠DAF=∠BAC =90º,

∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC , ∴∠ACF=∠ABD.

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD.

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。

(2)CF⊥BD.(1)中结论成立.

理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG

可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF⊥BD

【思路分析3】这一问有点棘手,D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.

(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,

①点D在线段BC上运动时,

∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.∴ DQ=4-x,

易证△AQD∽△DCP,∴ , ∴ ,

.

②点D在线段BC延长线上运动时,

∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4,∴ DQ=4+x.

过A作 交CB延长线于点G,则 . CF⊥BD,

△AQD∽△DCP,∴ , ∴ ,

【例3】已知如图,在梯形 中, 点 是 的中点, 是等边三角形.

(1)求证:梯形 是等腰梯形;

(2)动点 、 分别在线段 和 上运动,且 保持不变.设 求 与 的函数关系式;

(3)在(2)中,当 取最小值时,判断 的形状,并说明理由.

【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

(1)证明:∵ 是等边三角形

∵ 是 中点

(2)解:在等边 中,

∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

∵ ∴

∴ ∴ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。

(3)解: 为直角三角形

∴当 取最小值时,

∴ 是 的中点, 而

以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点,而是一些具体的图形时,思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形 中, 为对角线 上一点,过 点作 交 于 ,连接 , 为 中点,连接 .

(1)直接写出线段 与 的数量关系;

(2)将图1中 绕 点逆时针旋转 ,如图2所示,取 中点 ,连接 ,.

你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

(3)将图1中 绕 点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后,很多考生就想不到思路了。事实上,本题的核心条件就是G是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。

(1)

(2)(1)中结论没有发生变化,即 .

证明:连接 ,过 点作 于 ,与 的延长线交于 点.

在 与 中,

∵ ,

∴ .

∴ .

在 与 中,

∵ ,

∴ .

在矩形 中,

在 与 中,

∵ ,

∴ .

∴ .

【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果△BEF任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?如果题目要求证明,应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:在△BEF的旋转过程中,始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了。

(3)(1)中的结论仍然成立.

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点B′ 处.

(1)当 =1 时,CF=______cm,

(2)当 =2 时,求sin∠DAB′ 的值;

(3)当 = x 时(点C与点E不重合),请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).

【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的,E在BC上和E在延长线上都是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。

【解析】

(1)CF= 6 cm; (延长之后一眼看出,EAZY)

(2)① 如图1,当点E在BC上时,延长AB′交DC于点M,

∵ AB∥CF,∴ △ABE∽△FCE,∴ .

∵ =2, ∴ CF=3.

∵ AB∥CF,∴∠BAE=∠F.

又∠BAE=∠B′ AE, ∴ ∠B′ AE=∠F.∴ MA=MF.

设MA=MF=k,则MC=k -3,DM=9-k.

在Rt△ADM中,由勾股定理得:

k2=(9-k)2+62, 解得 k=MA= . ∴ DM= .(设元求解是这类题型中比较重要的方法)

∴ sin∠DAB′= ;

②如图2,当点E在BC延长线上时,延长AD交B′ E于点N,

同①可得NA=NE.

设NA=NE=m,则B′ N=12-m.

在Rt△AB′ N中,由勾股定理,得

m2=(12-m)2+62, 解得 m=AN= . ∴ B′ N= .

∴ sin∠DAB′= .

(3)①当点E在BC上时,y= ;

(所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积,再由相似表示出边长)

②当点E在BC延长线上时,y= .

【总结】 通过以上五道例题,我们研究了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下:

第一、仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的。针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论。针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。

第二、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

第三、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键。

第二部分 发散思考

【思考1】已知:如图(1),射线 射线 , 是它们的公垂线,点 、 分别在 、 上运动(点 与点 不重合、点 与点 不重合), 是 边上的动点(点 与 、 不重合),在运动过程中始终保持 ,且 .

(1)求证: ∽ ;

(2)如图(2),当点 为 边的中点时,求证: ;

(3)设 ,请探究: 的周长是否与 值有关?若有关,请用含有 的代数式表示 的周长;若无关,请说明理由.

【思路分析】本题动点较多,并且是以和的形式给出长度。思考较为不易,但是图中有多个直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长,要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中,看是否为定值,如果是关于M的函数,那么就是有关,如果是一个定值,那么就无关,于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若 <∠PBC<180°,

且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA,

(1)当BP与BA重合时(如图1),∠BPD= °;

(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;

(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形.

【思路分析】本题中,和动点P相关的动量有∠PBC,以及D点的位置,但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA,从这几条出发,可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上,P点的轨迹就是以B为圆心,BA为半径的一个圆,那D点是什么呢?留给大家思考一下~

【思考3】如图:已知,四边形ABCD中,AD//BC, DC⊥BC,已知AB=5,BC=6,cosB= .

点O为BC边上的一个动点,连结OD,以O为圆心,BO为半径的⊙O分别交边AB于点P,交线段OD于点M,交射线BC于点N,连结MN.

(1)当BO=AD时,求BP的长;

(2)点O运动的过程中,是否存在BP=MN的情况?若存在,请求出当BO为多长时BP=MN;若不存在,请说明理由;

(3)在点O运动的过程中,以点C为圆心,CN为半径作⊙C,请直接写出当⊙C存在时,⊙O与⊙C的位置关系,以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中,时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单,等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP,从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在 中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 得到线段EF(如图1)

(1)在图1中画图探究:

①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连结EP1¬¬绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系,并加以证明;

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转 得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.

(2)若AD=6,tanB= ,AE=1,在①的条件下,设CP1= ,S = ,求 与 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题,虽不是压轴,但动点动线一起考出来,难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系,于是又出现了一堆直角三角形,于是证角,证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式,但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想,漏掉了很多种情况,失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题,按照上面总结的一般思路去拆分条件,步步为营的去解答。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

(1)证明:∵ ,∴ .∴ .

又∵ ,∴ .

∴ .∴ ∽ .

(2)证明:如图,过点 作 ,交 于点 ,

∵ 是 的中点,容易证明 .

在 中,∵ ,∴ .

∴ .

∴ .

(3)解: 的周长 , .

设 ,则 .

∵ ,∴ .即 .

∴ .

由(1)知 ∽ ,

∴ .

∴ 的周长 的周长 .

∴ 的周长与 值无关.

【思考2答案】

解:(1)∠BPD= 30 °;

(2)如图8,连结CD.

解一:∵ 点D在∠PBC的平分线上,

∴ ∠1=∠2.

∵ △ABC是等边三角形,

∴ BA=BC=AC,∠ACB= 60°.

∵ BP=BA,

∴ BP=BC.

∵ BD= BD,

∴ △PBD≌△CBD.

∴ ∠BPD=∠3.- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分

∵ DB=DA,BC=AC,CD=CD,

∴ △BCD≌△ACD.

∴ .

∴ ∠BPD =30°.

解二:∵ △ABC是等边三角形,

∴ BA =BC=AC.

∵ DB=DA,

∴ CD垂直平分AB.

∴ .

∵ BP=BA,

∴ BP=BC.

∵ 点D在∠PBC的平分线上,

∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称.

∴ ∠BPD=∠3.

∴ ∠BPD =30°.

(3)∠BPD= 30°或 150° .

图形见图9、图10.

【思考3解析】

解:(1)过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中,由AB=5,cosB= 得BE=3.

∵CD⊥BC,AD//BC,BC=6,

∴AD=EC=BC-BE=3.

当BO=AD=3时, 在⊙O中,过点O作OH⊥AB,则BH=HP

∵ ,∴BH= .

∴BP= .

(2)不存在BP=MN的情况-

假设BP=MN成立,

∵BP和MN为⊙O的弦,则必有∠BOP=∠DOC.

过P作PQ⊥BC,过点O作OH⊥AB,

∵CD⊥BC,则有△PQO∽△DOC-

设BO=x,则PO=x,由 ,得BH= ,

∴BP=2BH= .

∴BQ=BP×cosB= ,PQ= .

∴OQ= .

∵△PQO∽△DOC,∴ 即 ,得 .

当 时,BP= = >5=AB,与点P应在边AB上不符,

∴不存在BP=MN的情况.

(3)情况一:⊙O与⊙C相外切,此时,0

情况二:⊙O与⊙C相内切,此时,0

【思考4解析】

解:(1)①直线 与直线 的位置关系为互相垂直.

证明:如图1,设直线 与直线 的交点为 .

∵线段 分别绕点 逆时针旋转90°依次得到线段 ,

②按题目要求所画图形见图1,直线 与直线 的位置关系为互相垂直.

(2)∵四边形 是平行四边形,

∴ .

∴ .

可得 .

由(1)可得四边形 为正方形.

∴ .

①如图2,当 点在线段 的延长线上时,

∵ ,

∴ .

∴ .

②如图3,当 点在线段 上(不与 两点重合)时,

∵ ,

∴ .

③当 点与 点重合时,即 时, 不存在.

综上所述, 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围是 或 .

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