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 由样本推断总体

教学设计思想：需三课时讲授;本节是在前面已经学过的数据的整理与表示的基础上展开学习的。其中频率、频数、平均数等等都是学习本节的基础。在教学中，多采用的是分组实验让学生接受新知，不仅激起学生的兴趣，还能锻炼学生的动手操作能力。

教学目标：

1.知识与技能

学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查;

会用样本的平均数、方差等特性估计总体的相应特性;

体会用样本估计总体的统计思想，知道不同的样本对总体的估计不同。

2.过程与方法

体会随机抽样是了解总体情况的一种重要数学方法，经历抽样不同所得到的结果不同的过程，体会抽样的关键作用。

3.情感、态度与价值观

会运用样本的某种特性估计总体的相应特性的统计思想解决有关实际问题。

教学重点：用样本估计总体。

教学难点：用样本估计总体。

教学方法：分组讨论、引导式。

教学媒体：幻灯片、实验器材。

教学安排：3课时。

教学过程：

Ⅰ.复习导入

师：在七年级我们学过对数据的初步整理，其中涉及到不少统计的概念，同学们回忆一下。

生：我们学过平均数、众数、中位数、方差。

师：回答的很好;那你们还记得它们的含义吗?

学生回答，教师板书。

平均数：一般地，如果有n个数 ，那么 叫做这n个数的平均数。

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数。

方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。

Ⅱ.新课讲授

我们来观看两个实例：(幻灯片投映)

1.某市场调查员就“你家的电视机是什么品牌的”这个问题在大街上随机调查了5人，结果有3人回答说：我家的彩电是H牌的。如果由此就说H牌电视机的市场占有率为60%，你觉得可信吗?

2.一份报告称：在美国和西班牙战争期间，美国海军的死亡率为9‰，而同期纽约市民的死亡率为16‰。结论是参加海军比较安全。请说说为什么会得到这样毫无意义的结论。

同学们思考，相互讨论。

师：也许很多同学对用抽样的方法推断总体的情况保持怀疑的态度。当样本容量太小或缺乏代表性时，这种怀疑是有道理的。那么当样本容量较大且有较好的代表性时，由样本推断总体的准确性又如何呢?

下面我们先来做个实验。

活动：把全班同学分成若干个实验小组(每组4至6名同学)，课前每组准备400粒黄豆和100粒青豆，并将它们充分混合作为本组的实验用品。

实验时，将500粒豆子看做总体，从中取出50粒作为样本，数一数其中的青豆数。重复做5次实验，最后，从500粒豆子中取出250粒，数出其中的青豆数作为第6次实验。再分别计算50粒豆子中青豆的百分比及250粒豆子中青豆的百分比，将结果填入下表：

实验序号 1 2 3 4 5 6

豆子总数/粒 50 50 50 50 50 250

青豆数/粒

百分比

通过做实验，再思考下面的问题：

1.总体中青豆的百分比是多少?

2.5次抽样得到的青豆的百分比相等吗?和20%差别大吗?

3.250粒豆子中青豆的百分比和20%的差别大吗?

4.为了得到较准确的估计值，应该注意什么?

做完实验，同学们把实验结果填入上表;

教师提问，学生回答上面的问题：第一问可以找中下等学生回答，知道总体中青豆的百分比是20%;然后第二问，学生可以直接观察实验数据，知道5次抽样的结果是不一样的，与20%是有一定的区别的;而最接近20%的是250粒豆子中青豆的百分比。

利用抽样的方法，估计总体中某类个体所占的比例，估计结果和实际结果会有误差，但随着样本容量的增大，这个比例会逐渐趋于稳定，且样本容量增大，估计的结果一般也越准确。当然，样本要具有较好的代表性。

Ⅲ.出示例题

例1.高中会考成绩采取A、B、C、D等级记分制，某市教育局抽查了某学校25名高一年级学生的会考成绩，结果如下：

A B B A A C B A B B A C B

C B B C B B A A B A B B

(1)统计样本中各等级会考成绩的频数，并计算频率。

(2)估计全校高一年级全体学生的会考成绩为总体，25名学生的会考成绩是样本。

解：在这里，全校高一年级全体学生的会考成绩为总体，25名学生的会考成绩是样本。

(1)样本中各等级会考成绩的频数及频率见下表：

等级会考成绩 A B C D 合计

频数 8 13 4 0 25

频率 32% 52% 16% 0[ 100%

(2)用样本中各等级会考成绩出现的频率估计总体中各等级会考成绩的百分比，A、B、C、D等级大约各占32%、52%、16%、0。

Ⅳ.课上练习

某乒乓球训练学校将购进的乒乓球打开包装后装入一个大袋子，小明、小亮和小红分别从中取出一些乒乓球，通过测量其直径检验乒乓球的质量。检验结果如下：

姓名 小明 小亮 小红

检验个数 10 50 60

合格乒乓球个数 9 48 57

频率 90% 96% 95%

分别用90%、96%、95%估计所以乒乓球的合格率，哪个结果可能更接近实际情况?

板书设计：

由样本推断总体(1)

一、复习 活动

二、新课

三、练习

第二课时：

课前准备：一小袋黄豆、一纸杯青豆。

师：接着上节的由样本推断总体继续学习，现在大家看一个问题：

小明家承包了一个大鱼塘，你能设计一个方案估计池塘中鱼的总条数吗?

生：我们用网把鱼从池塘中全部捞上来，再一个一个的数一数。

师：这倒是一种方法，但是这种做法不利于鱼的生长。

生：我看过其他的资料，科学家一般采用“捕鱼—再捕获”的方法估计某个动物种群(昆虫、鸟类、鱼等)中动物的数量。

师：这位同学了解的知识很多，值得鼓励，说的不错，那你们明白它具体是怎么操作的吗?下面我们就来通过实验来解释一下。

活动：准备一小袋黄豆，一纸杯青豆，分小组模拟科学家估计鱼的总条数的过程。

学生在教师的指导下，完成下面的步骤：

步骤 捕捞过程 模拟实验

捕获 从湖中捞出一网鱼，共有n条 从袋子中取出一些黄豆，数出黄豆的粒数，记为n

做标记 对这n条鱼做标记后，放回湖中 将n粒青豆放进袋子中，充分混合。

再捕获 过几天，再捞出一网鱼，共有n条，其中有标记的鱼为r条 再从袋子中取出一些豆子作为样本，数出豆子的总粒数m及其中的青豆粒数r。

师：首先我们要知道估计值是多少，然后与我们实验结果相比较。

设袋子中共有x粒豆子，用样本中青豆所占的比例 估计袋子中青豆所占的比例 ，即 ≈ ，求得x的估计值为x≈ 。

学生动手，数一数袋子中豆子的总粒数，然后与估计值进行比较。

将上述模拟实验再重复一次，在第一步(捕获)中，使取出的黄豆粒数比第一次实验时多一些。

师：同学们通过这个实验，你都有哪些启示呢?你得到的估计值与实际值接近吗，两次得到的估计值差异大吗?当样本较大时，是否估计得更准确一些?

学生相互交流，讨论。

教师总结：抽样调查的方法广泛应用于许多领域，测定产品质量，了解民众对一些问题的看法，了解某商品的市场占有率等都是用抽样的方法。而用上述“捕获—再捕获”的方法估计池塘中鱼的总数是抽样方法之一。

练习：

从一个池塘中捞出60条鱼，全部做上述标记后放回池塘中，过几天后又捞出3网鱼，每网鱼的数量及有标记的鱼的数量如下表所示。用每网鱼的数量及三网鱼的合计数量分别估计池塘中鱼的总数，并将结果填写在下表中。

捕捞序号 每网鱼的数量/条[ 有标记鱼的数量/条 估计鱼的总数/条

1 18 2

2 26 3

3 35 4

合计

板书设计：

由样本推断总体(2)

一、引例

二、实验 三、练习

第三课时

Ⅰ.引入

师：上两节课我们了解了抽样调查的可靠性，以及由样本推断总体的基础理论。现在我们通过例题来进一步理解它们在实际问题中的应用。

Ⅱ.授课

我们拿个生活中很普遍的例子开始讨论：

一箱优质苹果共50个，从中任意取出2个，用这2个苹果的平均质量(g)估计整箱苹果中平均每个苹果的质量。你认为这样估计准确吗?任取5个呢?任取10个呢?

对50个苹果逐一称量，质量数据如下：

200 256 268 253 280 248 240 265 258 246

272 267 242 212 262 252 268 250 255 223

261 251 248 238 195 246 295 235 256 270

253 256 249 252 275 254 235 260 228 245

270 246 236 285 218 260 232 254 250 255

师：同学们分5个小组，从下面两种方案中选取一种，抽取样本，计算平均数。

方案1：将50个数据分别写在50张纸片上，将纸片放在一个盒子中混合均匀，从中任意取出5张纸片，计算这5张纸片，计算这5个数的平均数，重复8次;从中任意取出10 张纸片，计算这10个数的平均数，重复8次。

方案2：利用计算器产生1到50之间的随机数，进行抽样。

(1)将计算结果填入下表

抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8

5个数的平均数 [

10个数的平均数

(2)观察并比较两组平均数，哪组平均数稳定?

(3)经计算，这50个数据的平均数是250.5。哪组平均数更接近250.5?

各组在教师的引导下，完成上面的实验步骤，并思考上面的问题。

[教法]：通过分组做实验的方法，不仅提高学生学习本节课的兴趣，还能锻炼学生动手操作的能力，使学生在实验过程中积极的思考问题，提高学习的积极性。

师：现在我们得出了实验数据，那请各组的同学根据你们实验得到的数据绘制出每列5个数据平均数的条形图。

根据重复抽样，每次10个数据的平均数绘制的条形图：

观看上面的两图，同学们思考：两个图形反映的规律和你得到的规律一样吗?

生甲：由于抽样的任意性，不同样本的平均数一般也不同。

生乙：当样本数据较少时，差异也可能会很大。

师：同学们总结的都很好;现在我们一起总结一下：

一般地，由于抽样的任意性，不同样本的平均数一般不同;当样本数据较少时，差异也可能会很大。

那怎样才能使样本的平均数接近于总体的平均数呢?

当样本中个体较多，且具有较好的代表性时，杨本的平均数趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。

师：因此，我们经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样，也用样本的方差估计总体的方差。

Ⅲ.应用

例1：用某台车床加工一种轴承，规定轴承的平均直径为20cm，方差不超过0.05。从某天加工的轴承中随机抽取了10件，测得其直径(mm)如下：

20.1 19.9 20.3 20.2 19.8 19.7 19.9 20.3 20 19.8

(1)计算样本的平均数和样本的方差

(2)用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，推断这台车床的生产情况是否正常。

解：(1)样本的平均数为

。

样本的方差为

(2)总体的平均数和方差的估计值分别为20mm和0.042，由此可以看出这台车床的生产情况正常。

例2：小亮家承包的苹果园共有3000棵树龄相同的苹果树，为了估计今年苹果的总产量，小亮任意选择了6棵苹果树，数出它们挂果的个数分别为：

260 340 280 420 360 380

根据往年的经验，平均每个苹果的质量约为250g。请估计苹果的总产量。

解：6棵苹果树平均挂果数为

。

6棵苹果树平均每棵的产量约为

0.25×340=85(kg)。

3000棵苹果树的总产量约为

85×3000=255000(kg)。

[教法]：用样本的平均数极方差估计总体的平均数及方差是常用的一种估计方法，讲解时注意学生领会的程度。

Ⅳ.练习

某养鸡厂厂长说，他们厂生产的鸡蛋个儿大，平均每个鸡蛋的质量为70g。

(1)小红挑选大个儿的鸡蛋，称了2kg，数了数共28个，平均每个鸡蛋是多少克?

(2)小明随意称出2kg鸡蛋，数了数共有32个。平均每个鸡蛋是多少克?

(3)要证实厂长的话的真实性，应该用谁的结果?

Ⅴ.小结

用样本推断总体时，要用样本的某种特性估计推断总体的相应特性，为了使样本能准确估计总体，在抽取样本时要使样本中的个数尽量多，并且要具有较好的代表性。

板书设计：

由样本推断总体(3)

一、引入 三、例题

二、授课 例1 例2

例： 四、练习

五、小结

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