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 几何体的展开图及其应用

本节内容是通过学生动手实践去培养学生的空间思维能力。在教学中，如果忽略了学生的动手操作而冷冷而谈，很容易让学生觉得几何很难，而对几何有厌学的状态。因此，在这节课中通过学生动手操作，将预先准备好的柱体和锥体进行展开和拼合，让学生在动手中体验立体图形是由平面图形所围成的，进而让学生通过展开的平面图进行探讨，总结出柱体和锥体的表面展开图的特点。同时通过动画演示，加深了学生的空间想像的印象，大大调动了学生的积极性。特别是一道思考题和互问互检自编题，让学生各显神通，发表自己的看法，创设情景，根据本堂课所学的知识编一些生动有趣的题，这是本节课中让我感受最深的一点。

教学目标：

1.知识与技能

进一步认识立体图形与平面图形的关系;

知道一个立体图形展开的方式不同，得到的平面图形也不相同，以及计算相关几何体的侧面积与表面积。

2.过程与方法

在学习中要多动手进行实物操作，多观察分析，体验由立体图形到展开图和由展开图到立体图形的变化过程。

3.情感、态度与价值观

加强动手操作能力，提高观察、分析能力。

发展空间想象能力。

教学重点：常见几何体的展开与折叠及其有关计算。

教学难点：常见几何体的展开与折叠及其有关计算。

教学方法：教师引导，学生自主学习。

教学媒体：电脑、投影仪、纸片、圆规、量角器。

教学安排：2课时。

教学过程：

第一课时：

Ⅰ.创设问题情景，引导学生观察、设想、导入新课

1.演示圆柱体与圆锥体的侧面展开图。(参看课件圆柱、圆锥)

[教学说明]：复习立体图形的侧面展开图为平面图形。

2.刚才演示的只是立体图形的侧面展开情况，但在实际生活中，常常需要了解整个立体图形展开的形状，例如要制作一个常见的粉笔盒(手举粉笔盒)，只知道它的侧面展开图是不够的，因为它还有上下两个底，那么，将粉笔盒展开后是什么图形呢?

Ⅱ.学生通过直观感知、操作确认等实践活动，加强对立体图形的认识和感知

活动1：

某外包装盒的形状是棱柱，它的两底面都是水平的，侧棱都是竖直的(这样的棱柱叫做直棱柱)。沿它的棱剪开、铺平，就得到了它的平面展开图。

教师课前可以准备一个六棱柱的模型，现在给学生演示——由几何体展开得到他的平面图形。

然后教师提出问题：

问题1：这个棱柱有几个侧面?每个侧面是什么形状?

问题2：这个棱柱的上、下底面的形状一样吗?它们各有几条边?

问题3：侧面的个数与底面图形的边数有什么关系?

问题4：这个棱柱有几条侧棱?它们的长度之间有什么关系?

问题5：侧面展开图的长和宽分别与棱柱地面的周长和侧棱长有什么关系?

教师通过实例展示，学生很容易回答上述问题(教师可以挑选中下等的学生回答)。

[教法]：上面所给的五个问题的结论，实际上是直棱柱的性质与特点，建议让学生通过观察模型进行直观感受。

活动2：

1.制作圆锥并计算其相关的量。

(1)在纸上画一个半径为6cm，圆心角为216°的扇形。

(2)将这个扇形剪下来，按下图所示围成一个圆锥。

(3)指出这个圆锥的母线的长，并求圆锥的高和底面的半径(粘合部分忽略不计)。

[

第一问与第二问让学生自己亲自动手操作，教师巡视，发现问题时引导学生。

第三问再让学生思考，得出结论：圆锥的母线长恰是扇形的半径长，圆锥的底面周长是扇形的弧长。

设圆锥的底面半径为r，

在Rt△SOD中，

2.下图是四个几何体的平面展开图，请用纸分别复制下来，按虚线折叠，围成几何体，并指出围成的几何体的形状。

学生动手，通过实际动手操作，观察通过折叠，都能围成什么样的几何体。

学生回答：分别是四棱柱、四棱锥、三棱锥、三棱锥。

[教法]：目的是培养学生动手操作的能力。

Ⅲ.练习

1.下列各图是几何体的平面展开图，请按图中虚线进行折叠，并说出折叠后形成的几何体的形状。

2.下列图形分别是两个几何体的平面展开图，请分别将它们围成几何体，并说出这个几何体的形状。[

答案：1.(1)正方体;(2)正方体;(3)三棱柱;(4)五棱柱。

2.圆锥和圆柱。

Ⅳ.课堂小结

本节课主要是通过学生亲自动手操作，了解棱柱的主要特点，了解棱锥、棱柱的侧面展开图，掌握各个量的关系。

板书设计：

课题：

一、创设情境，引入主题 三、练习

二、新授 四、总结

活动1：

活动2：

第二课时：

Ⅰ.师：上节课我们一起通过实践的方法了解了常见几何体的展开图，现在我们就在此基础上来进一步学习如何应用几何体的展开图。

活动1：

参看下面这个例题：

1.图37-38和图37-39分别是某几何体的三视图。(单位：mm)

(1)请分别说出它们所对应的几何体的名称。

(2)分别计算这两个几何体的表面积。

(3)小明认为，图37-39所示三视图所对应的几何体的表面积，就是图37-39中的两个主视图、两个左视图和一个俯视图的面积的和。你认为小明的想法正确吗?为什么?

教师与学生一起探究：

(1)分别为圆柱和底面是等腰三角形的三棱柱。

(2)圆柱的表面积是 。

首先，计算柱体三个侧面的面积。其中一个侧面面积为 20×40=800(mm2)。

另两个侧面面积是相同的，每个侧面的长为44mm，宽为 。

这个侧面的面积为 。

其次，计算两个底面的面积和：

。

所以，三棱柱的表面积是

(3)这种想法是不对的。三视图是一种正投影，受摆放位置的影响，各视图的形状与其所对应的几何体的表面形状可能不一致，因此，不能简单地用视图的面积去计算几何体的表面积。

[教法]：目的是体会几何体与其展开图之间的区别与联系。

2.一个外形为长方形的纸箱的大小如下图所示(单位：cm)，一只昆虫要从纸箱的顶点A沿表面爬到另一个顶点B，它沿哪条路线爬行的距离最短?请说明理由，并求出这个最短距离。

观察下面小亮解答问题的过程，想一想他的解法是否正确。为什么?

小亮是这样回答的：

将纸箱看成长方体，它的平面展开图如图37-41所示。连结AB，根据两点间线段最短，可知线段AB就是昆虫爬行距离最短的路线。

在Rt△ACB中，根据勾股定理，有AB=

教师分析：从最后结论看，小明的解答是正确的，但他分析问题的过程还不全面。

因为从A处沿纸箱表明到B处有无数条路线可走。而供选择的最短路线只有3条。即

(1)昆虫沿面EDCA和面EDBG从A处到B处，展开图如图37-41所示。最短距离是小亮所求的值。

(2)昆虫沿左侧面和上面EDBG从点A到点B，展开图1所示。最短距离为

(3)昆虫沿面EDCA和面DBFC从点A到点B，展开图2所示。最短距离为

比较上面(1)(2)(3)的距离知，最短路线是沿面EDCA和面EDBG从A到B的折线。

教师给同学们演示蚂蚁在几何体上爬行路线(参看视频：蚂蚁)

活动2：

师：通过上面例题的分析，我们思考这道题如何解答：

一个直六棱柱的上、下底面分别是边长为1cm的正六边形，侧棱长为10cm，请计算它的表面积。

让学生自己思考，通过画图来观察各个量之间的关系，然后计算。

Ⅱ.练习

1.用胶滚子沿从左到右的方向将图案涂到墙上，在下面给出的四个图案中，用图示的胶滚子涂出的图案是哪个?

2.一个棱柱的展开图如图所示，AB=3cm，AC=5cm，

(1)请指出它是几棱柱。

(2)请计算它的侧面积。

Ⅲ.课堂小结

本节课是在上节课所学的基础上，即通过几何体的展开图确定和制作立体模型，再在此基础上计算相关几何体的侧面积和表面积。

板书设计：

课题(2)

一、活动1： 活动2：

1.

二、练习

2. 三、小结：

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