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 二次函数

一、本章学习回顾

1. 知识结构

2.学习要点

(1)能结合实例说出二次函数的意义。

(2)能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

(3)掌握二次函数的平移规律。

(4)会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

(5)会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

(6)熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

(7)会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

3.需要注意的问题

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。

二、本章复习题

A组

一、填空题

1.已知函数 ，当m= 时，它是二次函数;当m= 时，抛物线的开口向上;当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数.

2.抛物线 经过点(3，-1)，则抛物线的函数关系式为 .

3.抛物线 ，开口向下，且经过原点，则k= .

4.点A(-2，a)是抛物线 上的一点，则a= ; A点关于原点的对称点B是 ;A点关于y轴的对称点C是 ;其中点B、点C在抛物线 上的是 .

5.若抛物线 的顶点在x轴上，则c的值是 .

6.把函数 的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 .

7.已知二次函数 的最小值为1，那么m的值等于 .

8.二次函数 的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 .

9.抛物线 的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y随x的增大而减小.

10.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点(-2，-2)，则抛物线的函数关系式为 .

11.若二次函数 的图象经过点(2，0)和点(0，1)，则函数关系式为 .

12.抛物线 的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 .

13.抛物线 与x轴的两个交点坐标分别为 ， ，若 ，那么c值为 ，抛物线的对称轴为 .

14.已知函数 .当m 时，函数的图象是直线;当m

时，函数的图象是抛物线;当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线.

15.一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A(1，0)的左边，一个在点A(1，0)的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 .

二、选择题

16.下列函数中，是二次函数的有 ( )

① ② ③ ④

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

17.若二次函数 的图象经过原点，则m的值必( )

A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定

18.二次函数 的图象与x轴 ( )

A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点

19.二次函数 有( )

A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2[来源:Z,xx,k.Com]

20.在同一坐标系中，作函数 ， ， 的图象，它们的共同特点是

(D )

A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上

B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下

C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点

D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

21.已知二次函数 的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ( )

A、 B、 且

C、 D、 且

22.二次函数 的图象可由 的图象 ( )

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 [来源:中.考.资.源.网]

23.某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出.若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去.为了投资少而获利大，每床每晚应提高 ( )

A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元

24.若抛物线 的所有点都在x轴下方，则必有 ( )

A、 B、

C、 D、

25.抛物线 的顶点关于原点对称的点的坐标是 ( )

A、(-1，3) B、(-1，-3) C、(1，3) D、(1，-3)

三、解答题

26.已知二次函数 .

(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值;

(2)求抛物线与x轴、y轴的交点;

(3)作出函数图象的草图;

(4)观察图象，x为何值时，y>0;x为何值时，y= 0;x为何值时，y<0?

27.已知抛物线过(0，1)、(1，0)、(-1，1)三点，求它的函数关系式.

28.已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点(8，-22)，求此二次函数的函数关系式.

29.已知二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)，B(3，0)两点，且函数有最大值2.

(1)求二次函数的函数关系式;

(2)设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积.

30.利用函数的图象，求下列方程(组)的解：

(1) ; (2) .

31.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m=162-3x.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

B组

一、选择题

32.若所求的二次函数的图象与抛物线 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 ( D )

A、 B、

C、 D、

33.二次函数 ，当x=1时，函数y有最大值，设 ，( 是这个函数图象上的两点，且 ，则 ( )

A、 B、

C、 D、

34.若关于x的不等式组 无解，则二次函数 的图象与x轴 ( )

A、没有交点 B、相交于两点

C、相交于一点 D、相交于一点或没有交点

二、解答题

35.若抛物线 的顶点在x轴的下方，求m的值.

36.把抛物线 的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 ，求m、n.

37.如图，已知抛物线 ，与x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，

(1)求m的值;

(2)求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标.

38.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4;

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式.

C组

解答题

39.如图，已知二次函数 ，当x=3时，

有最大值4.

(1)求m、n的值;

(2)设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，

求A、B点的坐标;

(3)当y<0时，求x的取值范围;

(4)有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，

求C点坐标.

40.阅读下面的文字后，解答问题.

有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.

(1)根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由;

(2)请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整.

41.已知开口向下的抛物线 与x轴交于两点A( ，0)、B( ，0)，其中 < ，P为顶点，∠APB=90°，若 、 是方程 的两个根，且 .

(1)求A、B两点的坐标;

(2)求抛物线的函数关系式.

42.已知二次函数 的图象如图所示.

(1)当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;

(2)求m的取值范围;

(3)在(2)的情况下，若 ，求C点坐标;

(4)求A、B两点间的距离;

(5)求⊿ABC的面积S.

第二十六章自我检测题

(时间45分钟，满分100分)

一、精心选一选(每题4分，共20分)

1.抛物线 的顶点坐标是 ( )

A、(2，0) B、(-2，0) C、(1，-3) D、(0，-4)

2.若(2，5)、(4，5)是抛物线 上的两个点，则它的对称轴是 ( )

A、 B、 C、 D、

3.已知反比例函数 ，当x<0时，y随x的增大而减小，则函数 的图象经过的象限是 ( )

A、第三、四象限 B、第一、二象限

C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限

4.抛物线 与x轴的两个交点为(-1，0)，(3，0)，其形状与抛物线 相同，则 的函数关系式为 ( )

A、 B、

C、 D、

5.把抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线 ，则 ( )

A、b=2，c= -2 B、b= -6，c=6 C、b= -8，c=14 D、b= -8，c=18

二、细心填一填(每空3分，共45分)

6.若 是二次函数，则m= 。

7.二次函数 的开口 ，对称轴是 。

8.抛物线 的最低点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大。

9.已知二次函数 的图象经过点(1，-1)，则这个二次函数的关系式为 ，它与x轴的交点的个数为 个。[来源:学。科。网Z。X。X。K]

10.若y与 成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为 。

11.抛物线 与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 。

12.有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S(m2)与花边宽度x(m)之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 。

13.抛物线 与直线 只有一个公共点，则b= 。

14.已知抛物线 与x轴交点的横坐标为 –1，则 = 。

15.已知点A(1，4)和B(2，2)，试写出过A、B两点的二次函数的关系式(任写两个)

、 。

三、认真答一答(第17题8分，其余各9分)

16.已知二次函数 的图象经过点(3，2)。

(1)求这个二次函数的关系式;

(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标;

(3)当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。

17.根据下列条件，求二次函数的关系式：

(1)抛物线经过点(0，3)、(1，0)、(3，0);

(2)抛物线顶点坐标是(-1，-2)，且经过点(1，10)。

18.已知抛物线 与x轴的一个交点为A(-1，0)。

(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;

(2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。

19.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式;

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式;

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?

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