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 三角形的内切圆

4.5 三角形的内切圆

【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真正的阶梯是永远拼搏!

【学习目标】

1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同

2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。

3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力;通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。

【学习过程】

一、情境创设

试一试：

一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。

分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切.

②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径?

③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。

二、探求新知

⒈本课知识点：

⑴和三角形各边都相切的圆叫做　　，　　 　叫做三角形的内心，这个三角形叫做　 .

⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆.

小结：①一个三角形的内切圆是唯一的;

②内心与外心类比：

名称 确定方法 图形 性质

外心 三角形三边中垂线的交点

(1)OA=OB=OC;

(2)外心不一定在三角形的内部.

内心 三角形三条角平分线的交点

(1)到三边的距离相等;

(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;

(3)内心在三角形内部.

⒉例题学习

例1、如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相

切于点D、E、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF的度数。

三.再攀高峰

探究活动一 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm，AC=8cm，∠C=90°.今需在△ABC中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少?

探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°.

(1)要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径;

(2)计算出最大的圆形纸片的半径(要求精确值).

四、达标测试

1.如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F.已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )

A.40° B.55° C.65° D.70°

图1 图2 图3

2.如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=( )

A.70° B.110° C.120° D.130°

3.如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=( )

A.112.5° B.112° C.125° D.55°

4.下列命题正确的是( )

A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B.三角形的内心不一定在三角形的内部

C.等边三角形的内心，外心重合 D.一个圆一定有唯一一个外切三角形

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为( )

A.1.5，2.5 B.2，5 C.1，2.5 D.2，2.5

6.如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F.

(1)求证：BF=CE;

(2)若∠C=30°，CE=2 ，求AC的长.

7.如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是 上的动点(与D，E不重合)，∠DMF的大小一定吗?若一定，求出∠DMF的大小;若不一定，请说明理由.

五、非常演练

1.如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是( )

A.( )nR B.( )nR C.( )n-1R D.( )

2.阅读材料：如图(1)，△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积.

∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA

又∵S△OAB = AB•r，S△OBC = BC•r，S△OCA = AC•r

∴S△ABC = AB•r+ BC•r+ CA•r

= L•r(可作为三角形内切圆半径公式)

(1)理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径;

(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(2)且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式;

(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…a¬n，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).

六、课堂小结

通过本节课的学习，

你认为要重点掌握的知识是_____________________________________________________，

在学习的过程中你的困惑有_____________________________________________________，

你对自己本节课的表现满意的地方是_____________________________________________。

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