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 刹车距离与二次函数

学习目标:

1.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.

2.会作出y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.

3.能说出y=ax2+c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型.

学习重点:

二次函数y=ax2、y=ax2+c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的基础.我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小值)、函数的增减性几个方面记忆分析.

学习难点:

由函数图象概括出y=ax2、y=ax2+c的性质.函数图象都由(1)列表，(2)描点、连线三步完成.我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置.

学习方法:

类比学习法。

学习过程:

一、复习：

二次函数y=x2 与y=-x2的性质：

抛物线 y=x2 y=-x2

对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

二、问题引入：

你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?

刹车距离与什么因素有关?

有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：

晴天时： ;雨天时： ，请分别画出这两个函数的图像：

三、动手操作、探究：

1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。

2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。

比较它们的性质，你可以得到什么结论?

四、例题：

【例1】 已知抛物线y=(m+1)x 开口向下，求m的值.

【例2】k为何值时，y=(k+2)x 是关于x的二次函数?

【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=-3x2，②y=3x2，③y= x2，④y=- x2的图象，并根据图象回答问题：(1)当x=2时，y= x2比y=3x2大(或小)多少?(2)当x=-2时，y=- x2比y=-3x2大(或小)多少?

【例4】已知直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为(-3，m).

(1)求a、m的值;

(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标;

(3)x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小;

(4)求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积.

【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式;(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为k的函数表达式;(3)设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

五、课后练习

1.抛物线y=-4x2-4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= .

2.当m= 时，y=(m-1)x -3m是关于x的二次函数.

3.抛物线y=-3x2上两点A(x，-27)，B(2，y)，则x= ，y= .

4.当m= 时，抛物线y=(m+1)x +9开口向下，对称轴是 .在对称轴左侧，y随x的增大而 ;在对称轴右侧，y随x的增大而 .

5.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2，b)，则k= ，b= .

6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点(-1，-2)，则抛物线的表达式为 .

7.在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是( )

A.y= x2 B.y=- x2 C.y=-2x2 D.y=-x2

8.抛物线，y=4x2，y=-2x2的图象，开口最大的是( )

A.y= x2 B.y=4x2 C.y=-2x2 D.无法确定

9.对于抛物线y= x2和y=- x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是( )

A.两条抛物线关于x轴对称 B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关于y轴对称 D.两条抛物线的交点为原点

10.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的图象大致为( )

11.已知函数y=ax2的图象与直线y=-x+4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为( )

A.4 B.2 C. D.

12.求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：

(1)y=ax2经过(1，2);

(2)y=ax2与y= x2的开口大小相等，开口方向相反;

(3)y=ax2与直线y= x+3交于点(2，m).

13.如图，直线ι经过A(3，0)，B(0，3)两点，且与二次函数y=x2+1的图象，在第一象限内相交于点C.求：

(1)△AOC的面积;

(2)二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积.

14.自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m)的关系是h=4.9t 2.求：

(1)一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离;

(2)计算物体下落10m，所需的时间.(精确到0.1s)

15.有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m.水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m.

(1)在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式;

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶?

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