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 投影与视图

教学目标：

1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念;

2、了角平行投影和中心投影的区别。

3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。

教学重、难点

教学重点：理解平行投影和中心投影的特征;

教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。

教学资源:多媒体

教学方法:自主阅读法,引导探索法

教学过程：

(一)创设情境

你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。(有条件的)放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏

(二)你知道吗

出示投影：

北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻.

问题：那什么是投影呢?

出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。

一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.

有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.

由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.

(三)问题探究(在课前布置，以数学学习小组为单位)

探究平行投影和中心投影和性质和区别

1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。

2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段?当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置?三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形?还有其他情况吗?

3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。

4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点?

平行投影与中心投影的区别与联系

区 别 联系

光线 物体与投影面平行时的投影

平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)

中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换)

(四)应用新知：

(1)地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。

①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形?

②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形?并画出投影示意图;

(2)一个正方形纸板ABCD和投影面平行(如图)，投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。

(3)两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影?并说明理由。

解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。

四、学习反思：

我们这节课学习了什么知识?

五、作业：

画出一个四边形的不同平行投影图和中心投影图

教学后记:

教学内容:29.1投影(二)

教学目标：

1、了解正投影的概念;

2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影

3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。

教学重、难点

重点：正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影

难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影

教学资源:教材,多媒体课件

教学方法:合作学习法,引导探索法

教学过程：

(一)复习引入新课

下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?

解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面).

指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。

(二)合作学习，探究新知

1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:

(1)铁丝平行于投影面;

(2)铁丝倾斜于投影面，

(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).

三种情形下铁丝的正投影各是什么形状

通过观察，我们可以发现;

(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1

(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2

(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3

2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:

(1)纸板平行于投影面;

(2)纸板倾斜于投影面;

(3)纸板垂直于投影面

结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;

(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;

(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.

当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.

(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);

(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2).

分析口述画图要领

解答按课本板书

4、练习

教学内容: 29.2 三视图(一)

教学目标

1.会从投影的角度理解视图的概念

2.会画简单几何体的三视图

3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系。

教学重、难点

重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图

难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图

教学资源:教材,多媒体课件

教学方法:合作学习法,引导探索法

教学过程

(一)创设情境，引入新课

这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗?如不能，那么还需哪些投影面?

物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。

如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面

作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图.

如图(2)，将三个投影面展开在一个平面

内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯视图和左视图组成).三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.

三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的宽相等

通过以上的学习，你有什么发现?

物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图

(二)应用新知

例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.

分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:

1.确定主视图的位置，画出主视图;

2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。

3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

解：

练习：

1、

2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请你判断一下.

四、小结

1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。

2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。

五、作业：

教材第123页第1题

教学后记:

教学内容:三视图(二)

教学目标：

1、进一步明确正投影与三视图的关系

2、经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图;

3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。

教学重点、难点

重点：简单立体图形的三视图的画法

难点：三视图中三个位置关系的理解

教学资源:教材,教参,多媒体课件

教学方法:阅读探索法

三、教学过程：

(一)复习引入

1、画一个立体图形的三视图时要注意什么?(上节课中的小结内容)

2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图

3、做一做：画出下列几何体的三视图

4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7

(二)讲解例题

例2.画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.

分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构

成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的上下、

前后位置关系.

解:如图29.2-7是支架的三视图

例3.右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图

分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定;看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡

而看不见部分的轮廓线画成虚线. 图29.2-9

解:图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁.

(三)巩固再现

1、P119 练习

2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.

教学内容: 三视图(三)

教学目标：

1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型;

2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。

教学重点,难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型

教学资源:教材,教参,多媒体课件

教学方法:引导阅读法,阅读探索法

教学过程：

(一)复习引入

前面我们讨论了由立体图形(实物)画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形(实物)呢?引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程(发展空间想象能力)

(二)新课学习

例4根据下面的三视图说出立体图形的名称.

分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，

解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示;

(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示.

例5,根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.

分析.由主视图可知，物体正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形的，且有一条棱(中间的实线)可见到。两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.

解:物体是五棱柱形状的，如下图所示.

(三)巩固再现

1、P121 练习

2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。

三、小结：

1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。

2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。

3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。

教学内容: 三视图(四)

教学目标

1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型;

2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力;

3、了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。

教学重点、难点

重点：根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用

难点：根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状

教学资源:教材,教参,多媒体课件

教学过程

(一)复习引入

1、完成下列练习

(1)、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。

(2)、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。

(3)、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是( )。

(A)长方体 (B)圆柱 (C)圆锥 (D)球

2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识，激发学生的学习兴趣，导入本课。

(二)讲授新课

例6.某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.

分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.

解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)).

密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图.

由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为

(三)练习巩固

2.补充根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正方体?

分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示.

解:该建筑物的形状如图所示:

有3层，共9个小正方体.

思考：一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有

几种不同的情形?

(四)作业

教学后记: 根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.

教学内容: 投影与视图(练习课)

教学目标

1、进一步体会投影中的平行投影、中心投影和正投影间的相互关系

2、加深体会立体图形或实物原型与三视图的互相转化，进一步拓展学生的空间想象力

教学方法:练习法

教学过程

(一)提问导入

前面我们都学习了哪些内容?

(让学生进行2~3分钟的梳理，然后让几个学生说说看，最后老师拓展总结)

(二)看谁学得好

练习设计

1.填空题

(1)俯视图为圆的几何体是_______，______。

(2)画视图时，看得见的轮廓线通常画成_______，

看不见的部分通常画成_______。

(3)举两个左视图是三角形的物体例子：________，_______。

(4)如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。

(5)请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上.

(6)一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。

2.选择题

(1)圆柱对应的主视图是( )。

?? ? ? ? ???

(A) ? ? (B) ? (C)? ? (D)

(2)某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是( )。

(A)长方体 (B)圆柱 (C)圆锥 (D)球

(3)下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是…( )

(4)一个四棱柱的俯视图如右图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是( )

(5)主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是( )。

(A)圆锥(B)圆柱 (C)球 (D)空心圆柱

3、解答题

(1)根据要求画出下列立体图形的视图。

??? ????? ????

???(画左视图)??? (画俯视图)???(画正视图)

(2)画出右方实物的三视图。

(3)如图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。

(4)根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正方体。

教学内容:29.3　制作立体模型(活动课)

学习目的:

通过根据三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。

工具准备:

刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯(或萝卜)等。

具体活动:

1、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型。

2、按照下面给出的两组视图，用马铃薯(或萝卜)做出相应的实物模型

3、下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。

(1)指出其中哪些可以折叠成多面体。把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案;

(2)画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的;

(3)如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少?

四、课题拓广

三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，结合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用。

教学内容：第四章投影与三视图 复习

教学目标：

1、通过复习系统掌握本章知识，

2、体验数学来源于实践，又作用于实践。

3、提高解决问题分析问题的能力。

4、培养空间想象能力。

教学重点：投影和三视图

教学难点：画三视图

教学资源:教材,练习册

教学方法:比较复习法,练习复习法.

教学过程：

一、以提问形式小结本章知识

1、本章知识结构框架：

2、填空：

(1)人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。

所在的位置叫做视点，有公共的两条 所成的角叫做视角。视线不能到达的区域叫做 。

(2)物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做 ，投影所在的 叫做投影面。

由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。

由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。

(3)在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。

(4)物体的三视图是物体在三个不同方向 。

上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上的正投影就是左视图。

二、例题讲解

例1、(1)在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( )

A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短

C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长

分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的

例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。

分析：从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。

例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗?请说明理由。

例4、 如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。

(1)确定光源的位置;

(2)在图中画出表示电线杆高度的线段。

分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。

例5、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。

(1)请你画出这个几何体的一种左视图;

(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值。

分析：左视图为侧视图，由于几何体只知道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见5个小正方体，这5个正方体可分布在1、2、3层。

教学内容: 第29章投影与三视图　　测试卷

时间 100分钟 总分：100分

一、精心选一选(每小题5分，共50分)

1.圆形的物体在太阳光的投影下是 ( )

(A)圆形. (B)椭圆形. (C)线段. (D)以上都不可能.

2.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是 ( )

(A)矩形. (B)两条线段.

(C)等腰梯形. (D)圆环.

3.如图摆放的几何体的左视图是 ( )

4.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 ( )

(A)小明的影子比小强的影子长.

(B)小明的影子比小强的影子短.

(C)小明的影子和小强的影子一样长.

(D)无法判断谁的影子长.

5.“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是( )

6.下列左边的主视图和俯视图对应右边的哪个物( )

7.小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子 ( )

(A)相交. (B)平行.

(C)垂直. (D)无法确定.

8.在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道小颖当时所处的时间是( )

(A)上午. (B)中午.

(C)下午. (D)无法确定.

9.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是 ( )

(A)①②③④. (B)④①③②.

(C)④②③①. (D)④③②①.

10.如图是“马头牌”冰激凌模型图，它的三视图是 ( )

二、耐心填一填(每小题4分，共20分)

11.右图是基本几何体的三视图，该基本几何体为 .

12.皮影戏中的皮影是由投影得到的 .

13.为测量旗杆的高度我们取一米杆直立在阳光下，其长为1.5米，在同一时刻测得旗杆的影长为10.5米.旗杆的高度是 .

14.如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径.在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(如示意图，AB=10米);同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，那么，球的半径是 米.

15.圆锥底面展开后是 ,侧面展开后是 .

三、用心想一想(每小题10分，共30分)

16.画出实物图(如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱)的三视图.

17.与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图所示)，树影是路灯灯光形成的。请你确定此时路灯光源 的位置.

18.要制作一个如图所示(图中阴影部分为底与盖,且SⅠ=SⅡ)的钢盒子,在钢片的四个角上分别截去两个相同的正方形与两个相同的小长方形,然后折合起来既可,求有盖盒子的高x.

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