教学设计示例1

反比例函数及其图象

教学目标 ：

1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式;

2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质;

3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想;

4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程;

5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.

教学重点：

结合图象分析总结出反比例函数的性质;

教学难点 ：描点画出反比例函数的图象

教学用具：直尺

教学方法：小组合作、探究式

教学过程 ：

1、从实际引出反比例函数的概念

我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例

即vt=S(S是常数);

当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S(S是常数)

从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：

(S是常数)

(S是常数)

一般地，函数 (k是常数， )叫做反比例函数.

如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数.当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数.

在现实生活中，也有许多反比例关系的例子.可以组织学生进行讨论.下面的例子仅供

2、列表、描点画出反比例函数的图象

例1、画出反比例函数 与 的图象

解：略

说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

一般地反比例函数 (k是常数， )的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.

3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质

前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.

显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢?并能从解析式或列表中得到论证.(下列答案仅供参考)

(1) 的图象在第一、三象限.可以扩展到k >0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.

的讨论与此类似.

抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.

(2)函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小;

从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小;若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.

同样可以推出 的图象的性质.

(3)函数 的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零;如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质.

函数 的图象性质的讨论与次类似.

4、小结：

本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

5、布置作业 习题13.8 1-4

教学设计示例2

反比例函数及其图像

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1.使学生了解反比例函数的概念;

2.使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式;

3.使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况;

4.会用待定系数法确定反比例函数的解析式.

(二)能力训练点

1.培养学生的作图、观察、分析、总结的能力;

2.向学生渗透数形结合的教学思想方法.

(三)德育渗透点

1.向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点;

2.使学生体会事物是有规律地变化着的观点.

(四)美育渗透点

通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.

二、学法引导

教师采用类比法、观察法、练习法

学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.

三、重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.

2.教学难点 ：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.

3.教学疑点：(1)反比例函数为何与x轴，y轴无交点;(2)反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限(或说在它的每一个象限内).

4.解决办法：(1) 中隐含条件是 或 ;(2)双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

四、教学步骤

(一)教学过程

提问：小学是否学过反比例关系?是如何叙述的?

由学生先考虑及讨论一下.

答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.

看下面的实例：(出示幻灯)

1. 当路程s一定时，时间t与速度v成反比例;

2.当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例;

它们分别可以写成 (s是常数)， (S是常数)写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：(板书)

一般地，函数 (k是常数， )叫做反比例函数.

即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢?

通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足 (k是常数， )就可以.因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为 (s是常量).对第2个实例也一样.

练习一：教材P129中1 口答.P130 1

根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么?

答：图像和性质.

通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后

学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究.

下面，我们就来看桓隼?猓海ǔ鍪净玫疲?/P>

例1 画出反比例函数 与 的图像.

提问：1.画函数图像的关键问题是什么?

答：合理、正确地选值列表.

2.在选值时，你认为要注意什么问题?

答：(1)由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好;

(2)不能选 ，因为 时函数无意义;

(3)选整数较好计算和描点.

这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒学生注意.

3.你能不能自己完成这道题呢?

学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：

注意：(1)一般地，反比例函数 的图像由两条曲线组成，叫做双曲线;

(2)这两条曲线不相交;

(3)这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交.

关于注意(3)可问学生：为什么图像与x和y轴不相交?

通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性.

再让学生观察黑板上的图，提问：

1.当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内，y随x的增大怎样变化?

2.当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内，y随x的增大怎样变化?

这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：

对于双曲线(1)当 ：(1)当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少;(2)当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大.

3.反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同?

通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用.

练习二：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上

上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：(出示幻灯)

例2已知y与 成反比例，并且当 时， ，求 时，y的值.

用提问的方式对此题加以分析：

(1)y与 成反比例是什么含义?

由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了： .

(2)根据这个式子，能否求出当 时，y的值?

(3)要想求出y的值，必须先知道哪个量呢?

(4)怎样才能确定k的值?用什么条件?

答：用待定系数法，把 时 代入 ，求出k的值.

(5)你能否自己完成这道例题：

由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.

例3 已知： ， 与x成正比例， 与x成反比例，当 时， 时， ，求y与x的解析式.

分析：一定要先写出y与x的函数表达式 ，

要用x分别把 ， 表示出来得 ，

要注意 不能写成k，∴

解：设 ，

.

由题意得

∴ .

(二)总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1.什么是反比例函数?

2.反比例函数的图像是什么样的?

3.反比例函数 的性质是什么?

4.命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.

五、布置作业

1.教材P130中4，5，6

2.选做：P130中B1，2

六、板书设计

13.8反比例函数及其图像

引例：(1)例1： 例2： 例3：

(2)

1.反比例函数：

2.反比例函数的性质

探究活动

已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。 。

(1)求反比例函数的解析式;

(2)设点A的横坐标为m， 的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;

(3)当 的面积等于 时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式;如果不能，请说明理由。

解：(1)过点B作 轴于点H。

在Rt 中，

由勾股定理，得

又 ，

∴ 点B(-3，-1)。

设反比例函数的解析式为

。

∵ 点B在反比例函数的图像上，

。

∴ 反比例函数的解析式为 。

(2)设直线AB的解析式为 。

由点A在第一象限，得 。

又由点A在函数 的图像上，可求得点A的纵坐标为 。

∵ 点B(-3，-1)，点 ，

∴ 解关于 、 的方程组，得

∴ 直线AB的解析式为 。

令 。

求得点D的横坐标为 。

过点A作 轴于点G

由已知，直线经过第一、二、三象限，

∴ ，即 。

由此得

∴ 。

即 。

(3)过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

证明如下：

。

由 ，

得

解得 。

经检验， 都是这个方程的根。

，

∴ 不合题意，舍去。

∴ 点A(1，3)。

设过A(1，3)、B(-3，-1)两点的抛物线的解析式为 。

∴ 由此得

即 。

设抛物线与x轴两交点的横坐标为 。

则

令

则 。

即 。

整理，得 。

，

∴ 方程 无实数根。

因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.