青岛版八年级数学《二次根式及其性质》知识点与复习

编辑:sx_yanxf

2016-05-16

知识积累的越多,掌握的就会越熟练,威廉希尔app 初中频道为大家编辑了二次根式及其性质知识点与复习,希望对大家有帮助。

【主要内容】

本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上,引入一个符号“

”.主要内容有:(1)二次根式的有关概念,如:二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等;(2)二次根式的性质;(3)二次根式的运算,如:二次根式的乘除法、二次根式的加减法等.

要点归纳

1. 二次根式的定义:形如

的式子叫二次根式,其中

叫被开方数,只有当

是一个非负数时,

才有意义.

2. 二次根式的性质:

3. 二次根式的运算

二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.

(1)二次根式的加减:

需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。

注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.

(2)二次根式的乘法:

(3)二次根式的除法:

注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

(4)二次根式的混合运算:

先乘方(或开方),再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算.

注意:进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法与技巧,以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外,根式的分数必须写成假分数或真分数,不能写成带分数.例如

不能写成

.

(5)有理化因式:

一般常见的互为有理化因式有如下几类:

; ②

;

; ④

.

说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化.

难点指导

1、如果

是二次根式,则一定有

;当

时,必有

;

2、当

时,

表示

的算术平方根,因此有

;反过来,也可以将一个非负数

写成

的形式;

3、

表示

的算术平方根,因此有

可以是任意实数;

4、区别

的不同:

中的

可以取任意实数,

中的

只能是一个非负数,否则

无意义.

5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径:

(1)因式的内移:因式内移时,若

,则将负号留在根号外.即:

.

(2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即:

6、二次根式的比较:

(1)若

,则有

;(2)若

,则有

.

说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小.

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