初二年级下学期同步检测:平行四边形

编辑:sx_yanxf

2016-03-30

要想让自己在考试时取得好成绩,除了上课要认真听讲外还需要课后多做练习,接下来威廉希尔app 为大家推荐了初二年级下学期同步检测:平行四边形,希望能帮助到大家。

1如图2-32所示.在

ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,DN=BM.求证:EF与MN互相平分.

分析 只要证明ENFM是平行四边形即可,由已知,提供的等量要素很多,可从全等三角形下手.

 因为ABCD是平行四边形,所以

AD

BC,AB

CD,∠B=∠D.

又AE⊥BC,CF⊥AD,所以AECF是矩形,从而

AE=CF.

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL,或AAS),BE=DF.又由已知BM=DN,所以

△BEM≌△DFN(SAS),

ME=NF. ①

又因为AF=CE,AM=CN,∠MAF=∠NCE,所以

△MAF≌△NCE(SAS),

所以 MF=NF. ②

由①,②,四边形ENFM是平行四边形,从而对角线EF与MN互相平分.

2如图2-33所示.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF∥BC且交AC于F.求证:AE=CF.

分析 AE与CF分处于不同的位置,必须通过添加辅助线使两者发生联系.若作GH⊥BC于H,由于BG是∠ABC的平分线,故AG=GH,易知△ABG≌△HBG.又连接EH,可证△ABE≌△HBE,从而AE=HE.这样,将AE“转移”到EH位置.设法证明EHCF为平行四边形,问题即可获解.

 作GH⊥BC于H,连接EH.因为BG是∠ABH的平分线,GA⊥BA,所以GA=GH,从而

△ABG≌△HBG(AAS),

所以 AB=HB. ①

在△ABE及△HBE中,

∠ABE=∠CBE,BE=BE,

所以 △ABE≌△HBE(SAS),

所以 AE=EH,∠BEA=∠BEH.

下面证明四边形EHCF是平行四边形.

因为AD∥GH,所以

∠AEG=∠BGH(内错角相等). ②

又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH,等角的补角相等),∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等),所以

∠AGB=∠GEH.

从而

EH∥AC(内错角相等,两直线平行).

由已知EF∥HC,所以EHCF是平行四边形,所以

FC=EH=AE.

说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等),从而构造出全等三角形ABG与△HBG.继而发现△ABE≌△HBE,完成了AE的位置到HE位置的过渡.这样,证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了.

人们在学习中,经过刻苦钻研,形成有用的经验,这对我们探索新的问题是十分有益的.

3如图2-34所示.

ABCD中,DE⊥AB于E,BM=MC=DC.求证:∠EMC=3∠BEM.

分析由于∠EMC是△BEM的外角,因此∠EMC=∠B+∠BEM.从而,应该有∠B=2∠BEM,这个论断在△BEM内很难发现,因此,应设法通过添加辅助线的办法,将这两个角转移到新的位置加以解决.利用平行四边形及M为BC中点的条件,延长EM与DC延长线交于F,这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F,因此, 只要证明∠MCF=2∠F即可.不难发现,△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点,我们的证明可从这里展开.

 延长EM交DC的延长线于F,连接DM.由于CM=BM,∠F=∠BEM,∠MCF=∠B,所以

△MCF≌△MBE(AAS),

所以M是EF的中点.由于AB∥CD及DE⊥AB,所以,DE⊥FD,三角形DEF是直角三角形,DM为斜边的中线,由直角三角形斜边中线的性质知

∠F=∠MDC,

又由已知MC=CD,所以

∠MDC=∠CMD,

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F.

从而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM.

4如图2-35所示.矩形ABCD中,CE⊥BD于E,AF平分∠BAD交EC延长线于F.求证:CA=CF.

分析 只要证明△CAF是等腰三角形,即∠CAF=∠CFA即可.由于∠CAF=45°-∠CAD,所以,在添加辅助线时,应设法产生一个与∠CAD相等的角a,使得∠CFA=45°-a.为此,延长DC交AF于H,并设AF与BC交于G,我们不难证明∠FCH=∠CAD.

 延长DC交AF于H,显然∠FCH=∠DCE.又在Rt△BCD中,由于CE⊥BD,故∠DCE=∠DBC.因为矩形对角线相等,所以△DCB≌△CDA,从而∠DBC=∠CAD,因此,

∠FCH=∠CAD. ①

又AG平分∠BAD=90°,所以△ABG是等腰直角三角形,从而易证△HCG也是等腰直角三角形,所以∠CHG=45°.由于∠CHG是△CHF的外角,所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°,

所以 ∠CFH=45°-∠FCH. ②

由①,②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF,

于是在三角形CAF中,有

CA=CF.

5设正方形ABCD的边CD的中点为E,F是CE的中点(图2-36).求证:

分析 作∠BAF的平分线,将角分为∠1与∠2相等的两部分,设法证明∠DAE=∠1或∠2.

 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H,则∠1=∠2=∠3,所以

FA=FH.

设正方形边长为a,在Rt△ADF中,

从而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS),

从而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS),

6如图2-37所示.正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E,F,使DE=AD,DF=BD,连接BF分别交CD,CE于H,G.求证:△GHD是等腰三角形.

分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD.

 因为DE

BC,所以四边形BCED为平行四边形,所以∠1=∠4.又BD=FD,所以

所以 BC=GC=CD.

因此,△DCG为等腰三角形,且顶角∠DCG=45°,所以

所以 ∠HDG=∠GHD,

从而GH=GD,即△GHD是等腰三角形.

有了上文为大家推荐的初二年级下学期同步检测:平行四边形,是不是助力不少呢?祝您学习愉快。

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