21.(1)解：因为AD是∠CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，

所以CD=DE=1 cm.

因为AC=BC，所以∠CAB=∠B= .

又因为DE⊥AB，所以∠EDB=∠B= .

所以ED=EB.所以DB= (cm).

所以AC=BC=CD+DB= cm.

(2)证明：在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，

所以△ACD≌△AED，所以AC=AE.

由(1)得CD=DE=BE，又AB=AE+EB，所以AB=AC+CD.

22. 解：(1)点D的位置如图所示(D为AB中垂线与BC的交点).

(2)∵ 在Rt△ABC中，∠B=37°，∴ ∠CAB=53°.

又∵ AD=BD，∴ ∠BAD=∠B=37°.

∴ ∠CAD=53°-37°=16°.

第22题答图

23.解：△APQ为等边三角形.证明如下：

∵ △ABC为等边三角形，∴ AB=AC.

∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，

∴ △ABP≌△ACQ(SAS).∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ.

∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，

∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°.

∴ △APQ是等边三角形.

24. 解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，

所以AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.

所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，即∠ADC=∠BDE.

在△ADC和△BDE中，因为AD=BD，CD=DE，∠ADC=∠BDE，

所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.

在等腰Rt△ABC中，因为AB= ，

所以AC=BC=1，故BE=1.

25.解：(1)90.

(2)①α+β=180°.

理由：因为∠BAC=∠DAE，

所以∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.

又AB=AC，AD=AE，

所以△ABD≌△ACE.所以∠B=∠ACE.

所以∠B+∠ACB =∠ACE+∠ACB，

所以∠B+∠ACB =β.

因为α+∠B+∠ACB =180°，所以α+β=180°.

②当点D在射线BC上时，α+β=180°.

当点D在射线CB上时，α=β.

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