18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45)，得到∠B′AD′，其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E，射线AD′与对角线BD交于点F，连接CF，并延长交AD于点M，当满足S四边形AEBF=S△CDM时，线段BE的长度为　2﹣2　.

考点： 旋转的性质;正方形的性质.

分析： 先根据旋转的性质得∠EAB=∠FAD=α，再根据正方形的性质得AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，则利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°，于是可根据“ASA”判定△ABE≌△ADF，得到S△ABE=S△ADF，所以S四边形AEBF=S△ABD=4，则S△CDM=2，利用三角形面积公式可计算出DM=2，延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，接着根据勾股定理计算出CM=2，再通过证明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，然后证∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2，则BN=M′C﹣BM′=2﹣2.

解答： 解：∵∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45°)，得到∠B′AD′，

∴∠EAB=∠FAD=α，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∵BE⊥BD，

∴∠EBD=90°，

∴∠EBA=45°，

∴∠EBA=∠FDA，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF(ASA)，

∴S△ABE=S△ADF，

∴S四边形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4，

∵S四边形AEBF=S△CDM，

∴S△CDM==2，

∴DM•2=2，解得DM=2，

延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，

在Rt△CDM中，CM==2，

在△BCM′和△DCM中

，

∴△BCM≌△DCM(SAS)，

∴CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，

∵AB∥CD，

∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM，

而NC平分∠BCM，

∴∠NCM=∠BCN，

∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN，

∴M′N=M′C=2，

∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2.

故答案为：2﹣2.

点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.

三.解答题(本大题共4个小题，19题10分，20题8分，21题8分，22题8分，共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

19.解方程：

(1)x2﹣6x﹣2=0

(2)=+1.

考点： 解一元二次方程-配方法;解分式方程.

分析： (1)移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;

(2)先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可.

解答： 解：(1)x2﹣6x﹣2=0，

x2﹣6x=2，

x2﹣6x+9=2+9，

(x﹣3)2=11，

x﹣3=，

x1=3+，x2=3﹣;

(2)方程两边都乘以x﹣2得：1﹣x=﹣1+x﹣2，

解这个方程得：x=2，

检验：当x=2时，x﹣2=0，

所以x=2不是原方程的解，

所以原方程无解.

点评： 本题考查了解一元二次方程，解分式方程的应用，解(1)小题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程.

20.如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.

(1)求证：△ABE≌△CDF;

(2)若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.

考点： 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.

专题： 证明题.

分析： (1)根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可;

(2)根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可.

解答： 证明：(1)在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB.

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB.

∴∠ABE=∠CDF.

∵在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(ASA).

(2)∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°.

∴平行四边形DFBE是矩形.

点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.

21.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣，0)，且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2，1)和点B.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式;

(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题.

专题： 数形结合;待定系数法.

分析： (1)根据待定系数法，可得函数解析式;

(2)根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案.

解答： 解：(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣，0)和A(﹣2，1)，

∴，解得，

∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，

反比例函数y=(m≠0)的图象过点A(﹣2，1)，

∴，解得m=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣;

(2)，

解得，或，

∴B(，﹣4)

由图象可知，当﹣2时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键.

22.童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，

(1)降价前，童装店每天的利润是多少元?

(2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元?

考点： 一元二次方程的应用.

专题： 销售问题.

分析： (1)用降价前每件利润×销售量列式计算即可;

(2)设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可.

解答： 解：(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：

(100﹣60)×20=800(元);

(2)设每件童装降价x元，根据题意，得

(100﹣60﹣x)(20+2x)=1200，

解得：x1=10，x2=20.

∵要使顾客得到更多的实惠，

∴取x=20.

答：童装店应该降价20元.

点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

四、解答题(本大题共2个小题，每小题10分，共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

23.先化简，再求值：(﹣)÷(﹣1)，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.

考点： 分式的化简求值;一元二次方程的解.

专题： 计算题.

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值.

解答： 解：原式=[﹣]÷=•=，

由a2﹣4a+2=0，得a2﹣4a=﹣2，

则原式=.

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

24.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;

若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.

例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|<|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).

(1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;

(2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标.

考点： 一次函数综合题.

分析： (1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0，y).由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值;

②设点B的坐标为(0，y)，根据|﹣﹣0|≥|0﹣y|，得出点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|，即可得出答案;

(2)设点C的坐标为(x0，x0+3).根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标;

解答： 解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为(0，y).

∵|﹣﹣0|=≠2，

∴|0﹣y|=2，

解得，y=2或y=﹣2;

∴点B的坐标是(0，2)或(0，﹣2);

②设点B的坐标为(0，y).

∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，

∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|=;

(2)如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，

则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.

即AC=AD，

∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，

∴设点C的坐标为(x0，x0+3)，

∴﹣x0=x0+2，

此时，x0=﹣，

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，

此时C(﹣，).

点评： 本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.

五.解答题(本大题共2个小题，25题12分，26题12分，共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

25.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF.

(1)如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积;

(2)如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF;

(3)如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.

考点： 四边形综合题.

分析： (1)根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2，求出△ABC的面积;

(2)作EG∥BC交AB于G，证明△BGE≌△ECF，得到BE=EF;

(3)作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF.

解答： 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，

∴BE⊥AC，AE=AB=1，

∴BE=，

∴△ABC的面积=×AC×BE=;

(2)如图2，作EG∥BC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AGE是等边三角形，

∴BG=CE，

∵EG∥BC，∠ABC=60°，

∴∠BGE=120°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ECF=120°，

∴∠BGE=∠ECF，

在△BGE和△ECF中，

，

∴△BGE≌△ECF，

∴EB=EF;

(3)成立，

如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AHE是等边三角形，

∴BH=CE，

在△BHE和△ECF中，

，

∴△BHE≌△ECF，

∴EB=EF.

点评： 本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键.

26.如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点，且点A的横坐标为1.

(1)求k的值;

(2)如图1，双曲线y=(x>0)上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标;

(3)如图2所示，若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3，1)，点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

考点： 反比例函数综合题.

分析： (1)点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，代入y=2×1+1=3，求得点A即可得到结果;

(2)如图1，设点M(m，)，过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，根据题意得：S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4，解方程即可得到结果;

(3)首先求得反比例函数的解析式，然后设P(m，m)，分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标.

解答： 解：(1)∵点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，

∴y=2×1+1=3，

∴A(1，3)，

∵点A是反比例函数y=(x>0)图象上的点，

∴k=3;

(2)如图1，设点M(m，)，过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，

根据题意得：S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4，

解得：m=3(负值舍去)，

∴M(3，1);

(3)∵反比例函数y=(x>0)图象经过点A(1，3)，

∴k=1×3=3，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵点P在直线y=x上，

∴设P(m，m)

，若PQ为平行四边形的边，

∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，

∴点Q在点P的下方，则点Q的坐标为(m+2，m﹣2)如图2，

若点Q在点P的上方，则点Q的坐标为(m﹣2，m+2)如图3，

把Q(m+2，m﹣2)代入反比例函数的解析式得：m=±，

∵m>0，

∴m=，

∴Q1(+2，﹣2)，

同理可得另一点Q2(﹣2，+2);

②若PQ为平行四边形的对角线，如图4，

∵A、B关于y=x对称，

∴OP⊥AB

此时点Q在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线y=的交点，

由

解得，(舍去)

∴Q3(，)

综上所述，满足条件的点Q有三个，坐标分别为：Q1(+2，﹣2)，Q2(﹣2，+2)，Q3(，).

点评： 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，准确的画出图形是解题的关键.

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