三、解答题(共38分)

19.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高线，若AB=10，BC=12，求AD的长.

20.先填空，后作图：

(1)到一个角的两边距离相等的点在它的　　　　　　上;

(2)到线段两端点距离相等的点在它的　　　　　　上;

(3)如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置(不写作法，保留作图痕迹).

21.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O.

(1)图中有多少对全等三角形?请把它们都写出来;

(2)任选(1)中的一对全等三角形加以证明.

22.已知：等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，求证：∠APE=60°.

23.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1) 特殊情况•探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论：AE　　　　　　DB(填“>”，“<”或“=”).

(2)特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　　　　　　DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果).

参考答案与试题解析

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.在下列各组图形中，是全等的图形是(　　)

A.   B.   C.   D.

考点： 全等图形.

分析： 根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.

解答： 解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，

故选：C.

点评： 此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形.

2.下列图形中，对称轴最多的是(　　)

A. 等腰三角形 B. 等边三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

考点： 轴对称的性质.

分析： 根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.

解答： 解：A、等腰三角形的对称轴有1条;

B、等边三角形有3条对称轴;

C、直角三角形不一定有对称轴;

D、等腰直角三角形的对称轴有1条;

综上所述，对称轴最多的是等边三角形.

故选：B.

点评： 考查了轴对称图形的对称轴的概念，能够正确找到各个图形的对称轴.

3.以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是(　　)

A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 4，5，6

考点： 勾股定理的逆定理.

分析： 根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：a2+b2=c2关系时是直角三角形.

解答： 解：A、能，因为32+42=52;

B、能，因为52+122=132;

C、能，因为62+82=102;

D、不能，因为42+52=≠62，不符合勾股定理的逆定 理.

故选D.

点评： 本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形.

4.下列图形中，不具有稳定性的是(　　)

A.   B.   C.   D.

考点： 三角形的稳定性;多边形.菁 优网版权所有

分析： 三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定.

解答： 解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误;

B、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确;

C、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误;

D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误.

故选B.

点评： 本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键.

5.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带(　　)去.

A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块

考点： 全等三角形的应用.

分析： 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

解答： 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的.

故选B.

点评： 本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

6.下列命题的逆命题是真命题的是(　　)

A. 直角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形

C. 相等的角是对顶角 D. 全等三角形的对应角相等

考点： 命题与定理.

分析： 先分别写出四个命题的逆命题，然后根据直角的定义、等边三角形的判定、对顶角的性质和全等三角形的判定分别进行判断.

解答： 解：A、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，此逆命题为假命题，所以A选项错误;

B、等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，此逆命题为假命题，所以B选项错误;

C、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，此逆命题为真命题，所以C选项正确;

D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角 形全等，此逆命题为假命题，所以D选项错误.

故选C.

点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式;有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.