21.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F ，使EF=AE，连接AF、BE和CF.

(1)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由;

(2)若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积.

考点： 平行四边形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理.

专题： 证明题.

分析： (1)等边三角形的三边相等，三个角也相等，根据等边三角形的性质能证明AF∥BD，AB∥FD，所以四边形ABDF是怎样的四边形.

(2)过点E作EG⊥AB于点G，可求出EG的长，面积可求.

解答： 解：(1)∵CD=CE，∠BCA=60°，

∴△DEC是等边三角形，

∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴AB∥DF，

∵EF=AE，∠AEF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AFD=60°，

∴BD∥AF，

∴四边形ABDF是平行四边形;

(2)∵四边形ABDF是平行四边形，

∴EF∥AB，且EF≠AB，

∴四边形ABEF是梯形.

过点E作EG⊥AB于点G，

∵BD=2DC，AB=6，

∴AE=BD=EF=4，

∵∠AGE=90°，∠BAC=60°，

∴∠AEG=30°，

∴AG= AE=2，

EG= = =2 ，

∴S= (4+6)×2 =10 .

点评： 本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的判定和性质等.

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