例1. (1)y与x成正比例函数，当 时，y=5.求这个正比例函数的解析式.

(2)已知一次函数的图象经过A(-1，2)和B(3，-5)两点，求此一次函数的解析式.

解：(1)设所求正比例函数的解析式为

把 ，y=5代入上式

得 ，解之，得

∴所求正比例函数的解析式为

(2)设所求一次函数的解析式为

∵此图象经过A(-1，2)、B(3，-5)两点，此两点的坐标必满足 ，将 、y=2和x=3、 分别代入上式，得

解得

∴此一次函数的解析式为

点评：(1) 不能化成带分数.(2)所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程.

例2. 拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并且画出图象.

分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.

解：

图象如下图所示

点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.

例3. 已知一次函数的图象经过点P(-2，0)，且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式.

分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法.

解：设所求一次函数解析式为

∵点P的坐标为(-2，0)

∴|OP|=2

设函数图象与y轴交于点B(0，m)

根据题意，SΔPOB=3

∴

∴|m|=3

∴

∴一次函数的图象与y轴交于B1(0，3)或B2(0，-3)

将P(-2，0)及B1(0，3)或P(-2，0)及B2(0，-3)的坐标代入y=kx+b中，得

解得

∴所求一次函数的解析式为

点评：(1)本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.(2)涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值.
 

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