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函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.K为常数.

即：y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，

∵当x增加m，k(x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合;

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行;

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交;

当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点(0，b)。

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0)则称y是x的一次函数

图像性质

1.作法与图形：通过如下3个步骤：

(1)列表.

(2)描点;[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0，b)和(-b/k，0)两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0,0)和(1，k)两点。

(3)连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b).

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像都是过原点。

3.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4.k，b与函数图像所在象限：

y=kx时(即b等于0，y与x成正比例)：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限;

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限;

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限;

当b>0时，直线必通过第一、二象限;

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)

) ③点斜式　y-y1=k(x-x1)(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)④两点式　(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直线上(x1,y1)与(x2,y3)两点) ⑤截距式　(a、b分别为直线在x、y轴上的截距)⑥实用型 (由实际问题来做)

解析式表达局限性

①所需条件较多(2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组)

②、③不能表达没有斜率的直线(即垂直于x轴的直线;注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合)

④参数较多，计算过于烦琐;

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。

倾斜角的概念

x轴到直线的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为[0, π)。

与二元一次方程的关系　　1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数

y=-a/bx+c/b的图像相同.

(2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1,

a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数

y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图像的交点.

方法小结:

把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知方程组的解.

一、区别和联系

区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。

联系：(1)在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组解，像x=1，y=3;x=2，y=1;…以这些解为坐标的点(1,3)(2,1)…都在一次函数y=-2x+5的图象上. (2)在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y=-x+2的图象上任取一点(-3，3)，则x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y=2的一组解.

所以，以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的。

二、两个本函数图象交点与方程组解的联系

在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点。

三、方程组无解时相应函数图象的关系

当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行。反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解。如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解，则一次函数y=3x-5与y=3x+1的图象平行，反之也成立。

四、用作图的方法解二元一次方程组

用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式;(2)在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象;(3)找出图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解。

五、用二元一次方程组确定本函数解析式

在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式。

例：某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数。现知王芳带了30 kg的行李，买了50元行李票。李刚带了40 kg的行李，买了100元行李票。那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李?

解答：依题意，可设一次函数的解析式为y=kx+b。则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b。解得k=5，b=-100，即一次函数的解析式是y=5x-100。当x=20时，y=0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李。

 

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