一,内容综述:

1.解分式方程的基本思想

在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即

分式方程 整式方程

2.解分式方程的基本方法

(1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根.

产生增根的原因:

当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.

检验根的方法:

将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等.

为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去.

注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公

分母为0.

用去分母法解分式方程的一般步骤:

(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;

(ii)解所得的整式方程;

(iii)验根做答

(2)换元法

为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程.

用换元法解分式方程的一般步骤:

(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数

式;

(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;

(iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;

(iv)检验做答.

注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程.

(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法.

(3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤.