Ⅳ.活动与探究

[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等.

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线.

求证：BD=CE.

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，

∴∠1=∠2.

在△BDC和△CEB中，

∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，

∴△BDC≌△CEB(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

[探究2]等腰三角形两腰上的高相等.

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高.

求证：BE=CF.

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

又∵BE、CF分别是△ABC的高，

∴∠BFC=∠CEB=90°.

在△BFC和△CEB中，

∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB，

∴△BFC≌△CEB(AAS).

∴BE=CF.

[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线.

求证：BD=CE.

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

又∵CD=AC，BE=AB，

∴CD=BE.

在△BEC和△CDB中，

∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，

∴△BEC≌△CDB(SAS).

∴BD=CE.

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