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 函数

教学目标

1.认识变量、常量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

教学重点

1.认识变量、常量. 2.用式子表示变量间关系.

教学难点:用含有一个变量的式子表示另一个变量.

教学过程

Ⅰ.提出问题，创设情境

情景问题：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.行驶时间为t小时.

t/时 1 2 3 4 5

s/千米

1.请同学们根据题意填写下表：

2.在以上这个过程中，变化的量是________.不变化的量是__________.

3.试用含t的式子表示s.

Ⅱ.导入新课

首先让学生思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答.

从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：s=60t.其中里程s与时间t是变化的量，速度60千米/小时是不变的量.

这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米/小时.

[活动一]

1.每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张，票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?

2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?

引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.

结论：

1.早场电影票房收入：150×10=1500(元);日场电影票房收入：205×10=2050(元)

晚场电影票房收入：310×10=3100(元); 关系式：y=10x

2.挂1kg重物时弹簧长度： 1×0.5+10=10.5(cm)

挂2kg重物时弹簧长度：2×0.5+10=11(cm);挂3kg重物时弹簧长度：3×0.5+10=11.5(cm)

关系式：L=0.5m+10

通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量(variable)，那么数值始终不变的量称之为常量(constant).如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y;重物质量m，弹簧长度L都是变量.而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量.

[活动二]

1.要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少?圆的面积为20cm2呢?怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?

2.用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度.观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Scm2.怎样用含有x的式子表示S?

结论：1.要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S= r2 r=

面积为10cm2的圆半径r= ≈1.78(cm); 面积为20cm2的圆半径r= ≈2.52(cm)

关系式：r=

2.因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm.

若长为1cm，则宽为5-1=4(cm) 据矩形面积公式：S=1×4=4(cm2)

若长为2cm，则宽为5-2=3(cm) 面积 S=2×(5-2)=6(cm2)… …

若长为xcm，则宽为5-x(cm) 面积 S=x•(5-x)=5x-x2(cm2)

从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式.

Ⅲ.随堂练习

1.购买一些铅笔，单价0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式.

2.一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩.写出面积S随h变化关系式，并指出其中常量与变量.

解：1.买1支铅笔价值 1×0.2=0.2(元)

买2支铅笔价值 2×0.2=0.4(元)

……

买x支铅笔价值 x×0.2=0.2x(元)

所以 y=0.2x

其中单价0.2元/支是常量，总价y元与支数x是变量.

2.根据三角形面积公式可知：

当高h为1cm时，面积S= ×5×1=2.5cm2

当高h为2cm时，面积S= ×5×2=5cm2

… …

当高为hcm，面积S= ×5×h=2.5hcm2

其中底边长为5cm是常量，面积S与高h是变量.

Ⅳ.课时小结

本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义.

1.确定事物变化中的变量与常量.

2.尝试运算寻求变量间存在的规律.

3.利用学过的有关知识公式确定关系区.

Ⅴ.课后作业

1、 课后相关习题

2、 思考：瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放.试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.

§11.1.1变量

一、常量与变量

二、寻求确定变量间关系式的方法

三、随堂练习

四、课时小结

过程：要求变量间关系式，需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放，找出规律，再寻求确定关系式的办法.

结论：从题意可知：

堆放1层，总数y=1

堆放2层，总数y=1+2

堆放3层，总数y=1+2+3

… …

堆放x层，总数y=1+2+3+…x 即y= x(x+1)

板书设计

备课资料

1.若球体体积为V，半径为R，则V= R3.其中变量是_______、_______，常量是________.

2.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y与上升高度x之间关系式为__________.

3.汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q升与行驶时间t小时的关系是_________.

答案： 1.V R ;2.y=23°- ;3.Q=40-5t.

§14.1 变量与函数(二) 教学目标

1.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.

2.进一步理解掌握确定函数关系式.

3.会确定自变量取值范围.

教学重点1.进一步掌握确定函数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.

教学难点：认识函数、领会函数的意义.

教学过程

Ⅰ.提出问题，创设情境

我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化?同一问题中的变量之间有什么联系?也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢?

这将是我们这节研究的内容.

Ⅱ.导入新课

首先回顾一下上节活动一中的两个问题.思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系.

活动一两个问题都有两个变量.问题(1)中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150，则y=1500;日场x=205，则y=2050;晚场x=310，则y=3100.

问题(2)中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L就随之确定一个值.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20.

再来回顾活动二中的两个问题.看看它们中的变量又怎样呢?

问题(1)中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1.78cm;当S=20cm2时，r=2.52cm.每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r= .

问题(2)中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，即可得出另一边长，再计算出矩形的面积.如：当x=1cm时，则S=1×(5-1)=4cm2，当x=2cm时，则S=2×(5-2)=6cm2……它们之间存在关系S=x(5-x)=5x-x2.因此可知，每当矩形长度x取定一个值时，面积S就随之确定一个值.

由以上回顾我们可以归纳这样的结论：

上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.

其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗?

(2)在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x 中国人口数统计表

年份 人口数/亿

1984 10.34

1989 11.06

1994 11.76

1999 12.52

与y，对于表中每个确定的年份(x)，都对应着个确定的人口数(y)吗?

通过观察不难发现在问题(1)的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量(independentvariable)，y是x的函数(function).如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2.5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数;人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数.当x=1999时，函数值y=12.52亿.

从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.

[活动一]

1.在计算器上按照下面的程序进行操作：

填表：

x 1 3 -4 0 101

y

显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?

2.在计算器上按照下面的程序进行操作.

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：

x 1 2 3 0 -1

y 3 5 7 2 -1

所按的第三、四两个键是哪两个键?y是x的函数吗?如果是，写出它的表达式(用含有x的式子表示y).

活动结论：

1.从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数.

2.从表中两行数据中不难看出第三、四按键是 这两个键，且每个x的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数.关系式是：y=2x+1

[活动二]

例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.

1.写出表示y与x的函数关系式.

2.指出自变量x的取值范围.

3.汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油?

结论：

1.行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数.

行驶里程x时耗油为：0.1x

油箱中剩余油量为：50-0.1x

所以函数关系式为：y=50-0.1x

2.仅从式子y=50-0.1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500.

因此自变量x的取值范围是：

0≤x≤500

3.汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值，将x=200代入y=50-0.1x得： y=50-0.1×200=30

汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油.

关于函数自变量的取值范围

1.实际问题中的自变量取值范围

问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制?

问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。

2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例.求下列函数中自变量x的取值范围

(1)y=3x-l (2)y=2x2+7 (3)y=1x+2 (4)y=x-2

分析：用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x+2)必须不等于0式子才有意义，对于第(4)题，(x-2)必须是非负数式子才有意义.

我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又该学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法.知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义.

Ⅲ.随堂练习

下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.

1.改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.

2.秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.

解答：

1.正方形边长x是自变量，正方形面积S是x的函数. 函数关系式：S=x2

2.这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数.函数关系式：y=

Ⅳ.小结

本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.

Ⅴ.作业1、习题11.1.1-1、2、3、4题. 2、《课堂感悟与探究》

Ⅵ.活动与探究

1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸.小明买了10支毛笔和x张宣纸，则小明用钱总数y(元)与宣纸数x之间的函数关系是什么?

过程：

根据题意可知：

当小明所买宣纸数x小于等于10张时，所用钱数为：y=5×10=50(元)

当小明所买宣纸数x大于10张时，所用钱数为：y=50+(x-10)×3=3x+20(元)

结果：

当0

当x>10时 y=3x+20

2、 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元;超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨(x >10)，应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数?(参考答案：Y=1.8x-6或 )

2、如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式.

*3.如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式.

课后反思

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