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 函数与一次函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

练习 1.函数y= 的自变量的取值范围是_______,函数y= 的自变量的取值范围是_____。

2. 函数y= 的自变量的取值范围是　　　　(　)

A　x<2 B x>2 C x≥2 D x≤2

3.求下列函数自变量的取值范围：(12分)

⑴　　y = ⑵ y =

4.已知代数式 有意义，则点P 在第_______象限。

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);

第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);

第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。

练习1。在同一坐标系中,作出函数y= -2x与y= x+1的图象

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.

(1) 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)

(2) 必过点：(0，0)、(1，k)

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴

练习 1、下列函数中，是正比例函数的是 ( )

A、y= B、y= C、y= D、y=

2.已知函数y=( +2)x，y随x增大而 ( )

A、增大 B、减小 C、与m有关 D、无法确定

3.若函数 是正比例函数，则 , 图像过______象限.

4.已知函数：①y=-x，②y= 3x ，③y=3x-1 ④y=3x2，⑤y= x3 ，⑥y=7-3x中，正比例函数有( )

A.①⑤ B.①④ C.①③ D.③⑥

10、一次函数及性质

一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(- ，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)

练习 1.一次函数 ，y随x的增大而减小，求这个一次函数的解析式。

2.下列关于x的函数中，是一次函数的是( )

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0)

练习 1.已知直线经过点A(2,3)，B(-1，-3)，则直线解析式为________________。

2.已知一次函数y=(m+1)x+ m+3。则m的取值范围是______。

3.已知一次函数的图象经过点(1，5)，(-2，-3)求此函数的解析式。

4.

(2)必过点：(0，b)和(- ，0)

练习1.一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是

(3)走向： k>0，图象经过第一、三象限;k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限;b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限

直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限

直线经过第二、三、四象限

练习 1.在函数y= ，y= ，y= ，y=x+8中，一次函数有 ( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2.若函数y=(m+1) +2是一次函数，则m的值为 ( )

A、m=±1 B、m=-1 C、m=1 D、m≠-1

3.已知点A(1，a)在直线y=-2x+3上，则a=_。

4.已知点P在直线y= 上，且点P到y轴的距离等于3个单位长度，则点P的坐标为_。

5.直线y=kx+b经过一、二、四象限,则k、b应满足 ( )

A. k>0, b<0 B. k>0, b>0 C. k<0, b<0; D. k<0, b>0

6. 关于函数 ，下列结论正确的是 ( )

A.图象必经过点(﹣2，1) B.图象经过第一、二、三象限

C.当 时， D. 随 的增大而增大

7.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是 ( )

A. B. C. D.

8.如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有()

A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k < 0，b<0 D.k <0，b>0

9.一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是()

A.第一象限B第二象限C.第三象限D第四象限

(4)增减性： k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小.

练习 1.一次函数的图象经过点P(1，3)，且y随x的增大而增大，写出一个满足条件的函数关系式_。

2.若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A( ， )和B( ， )，当 < 时， < ，则m的取值范围是 ( )

A、m<0 B、m>0 C、m< D、m>

3.直线y=10x+4的函数值随自变量的增加而___。直线y=-4x+6的函数值随自变量的减少而___。

4.已知点(-4，y1)，(2，y2)都在直线y=- x+2上，则y1 y2大小关系是( )

(A)y1 >y2 (B)y1 =y2 (C)y1

5.已知点(-4，y1)，(2，y2)都在直线y= - 12 x+2上，则y1 y2大小关系是 ( )

A. y1 > y2 B. y1 = y2 C.y1 < y2 D. 不能比较

6.已知函数y=(2m+1)x+m -3

(1)若函数图象经过原点,求m的值

(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.

(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.

(6)图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

练习 1. 直线 与 平行，且经过(2，1)，则k= ,b=

11、一次函数y=kx+b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：(0，b)， .即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0 b<0 b=0

k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

练习 1.下列各组函数中，与y轴的交点相同的是 ( )

A、y=5x与y=2x+3 B、y=-2x+4与y=-2x-4

C、y= +3与y=-2x+3 D、y=4x-1与y=x+1

2.若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A( ， )和B( ， )，当 < 时， < ，则m的取值范围是 ( )

A、m<0 B、m>0 C、m< D、m>

3.已知直线y= 中，若ab>0,ac<0,那么这条直线不经过 ( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

4.一次函数y=2x+6的图象与y轴相交，则交点坐标为_。

5.某个一次函数y=kx+b的图象位置大致如下图(1)所示，则k的取值范围为_，b的取值范围为_。

(图1) (图2)

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移).

练习 1.将直线y=3x-1向上平移3个单位，得直线_。

2.直线y=3x-2可由直线y=3x向 平移 单位得到。

3.直线y=x+2可由直线y=x-1向 平移 单位得到。

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

(1)两直线平行：k1=k2且b1 b2

(2)两直线相交：k1 k2

(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2

练习 1.已知直线y=2x与直线y=kx+3互相平行，则k的值为 ( )

A、k=-2 B、k=2 C、k=±2 D、无法确定k的值

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

练习 1.已知一次函数y=kx+b的图象经过(-1，1)、(2，3)两点，则这个一次函数的关系式为_。

15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

16、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围.

17、一次函数与二元一次方程组

(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= 的图象相同.

(2)二元一次方程组 的解可以看作是两个一次函数y= 和y= 的图象交点.

(18).一次函数应用。

练习 1.直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b的值为 ( )

A、4 B、-4 C、±4 D、±2

2.已知函数 ，求：

(1)函数图象与x轴、y轴的交点坐标;

(2)当x取何值时，函数值是正数;

(3)求 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积。

3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a),求

(1)a的值

(2)k,b的值

(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.

4.一次函数 的图象与x轴的交点坐标是____ __,与y轴的交点坐标是 __ , 直线与两坐标轴所围成的三角形面积为_________.

(19)联系中考

1.(2009年济宁市)阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数 的图象为直线 ，一次函数 的图象为直线 ，若 ，且 ，我们就称直线 与直线 互相平行.

解答下面的问题：

(1)求过点 且与已知直线 平行的直线 的函数表达式,并画出直线 的图象;

(2)设直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，如果直线 ： 与直线 平行且交 轴于点 ，求出△ 的面积 关于 的函数表达式.

【关键词】一次函数

【答案】解：(1)设直线l的函数表达式为y=k x+b.

∵ 直线l与直线y=—2x—1平行，∴ k=—2.

∵ 直线l过点(1，4)，∴ —2+b =4，∴ b =6.

∴ 直线l的函数表达式为y=—2x+6.

直线 的图象如图.

(2) ∵直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，∴点 、 的坐标分别为(0，6)、(3，0).

∵ ∥ ,∴直线 为y=—2x+t.

∴C点的坐标为 .

∵ t>0,∴ .

∴C点在x轴的正半轴上.

当C点在B点的左侧时， ;

当C点在B点的右侧时， .

∴△ 的面积 关于 的函数表达式为

2(2009 黑龙江大兴安岭)邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校.小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟.二人与县城间的距离 (千米)和小王从县城出发后所用的时间 (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：

(1)小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米?请直接写出答案.

(2)小王从县城出发到返回县城所用的时间.

(3)李明从A村到县城共用多长时间?

【关键词】一次函数的实际问题

【答案】(1) 4千米,

(2)解法一:

84+1=85

解法二: 求出解析式

84+1=85

(3) 写出解析式

20+85=105

3.(2009年河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm.现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(图15是裁法一的裁剪示意

裁法一 裁法二 裁法三

A型板材块数 1 2 0

B型板材块数 2 m n

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y

张、按裁法三裁z张，且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用.

(1)上表中，m = ，n = ;

(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式;

(3)若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，

并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材

多少张?

【关键词】函数的运用

【答案】解：(1)0 ，3.

(2)由题意，得

， ∴ .

，∴ .

(3)由题意，得 .

整理，得 .

由题意，得

解得 x≤90.

【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】

由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小.

此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.

4.(2009年潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择：

方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元;

方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元.

(1)若需要这种规格的纸箱 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用 (元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用 (元)关于 (个)的函数关系式;

(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案?并说明理由.

解：(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用：

蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：

.

(2)

，

由 ，得： ，

解得： .

当 时， ，

选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.

当 时， ，

选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.

当 时， ，

两种方案都可以，两种方案所需的费用相同.

5.(2009年牡丹江)某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产 、 两种型号的冰箱100台.经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：

型号 A型 B型

成本(元/台) 2200 2600

售价(元/台) 2800 3000

(1)冰箱厂有哪几种生产方案?

(2)该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少?“家电下乡”后农民买家电(冰箱、彩电、洗衣机)可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?

(3)若按(2)中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学.其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种.

【关键词】一次函数的实际问题

【答案】解：(1)设生产 型冰箱 台，则 型冰箱为 台，由题意得：

解得：

是正整数

取38，39或40.

有以下三种生产方案：

方案一 方案二 方案三

A型/台 38 39 40

B型/台 62 61 60

(2)设投入成本为 元，由题意有：

随 的增大而减小

当 时， 有最小值.

即生产 型冰箱40台， 型冰箱60台，该厂投入成本最少

此时，政府需补贴给农民

(3)实验设备的买法共有10种.

6.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：

销售方式 粗加工后销售 精加工后销售

每吨获利(元) 1000 2000

已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.

⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工?

⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工.

①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式;

②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润?此时如何分配加工时间?

【答案】解：⑴设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工， 1分

根据题意得： x+y=12，5x+15y=140. 3分

解得x=4，y=8.

答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工. 4分

⑵①精加工m吨，则粗加工(140-m)吨，根据题意得：

W=2000m+1000(140-m)

=1000m+140000 . 6分

②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，

∴m5+140-m15≤10 解得　m≤5. 8分

∴0

又∵在一次函数W=1000m+140000中，k=1000>0，

∴W随m的增大而增大，

∴当m=5时，Wmax=1000×5+140000=145000.　 9分

∴精加工天数为5÷5=1，

粗加工天数为(140-5)÷15=9.

∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元. 10分.

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