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 变量与函数

教学目标

1.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.

2.进一步理解掌握确定函数关系式.

3.会确定自变量取值范围.

教学重点

1.进一步掌握确定函数关系的方法.

2.确定自变量的取值范围.

教学难点

认识函数、领会函数的意义.

教学过程

Ⅰ.提出问题，创设情境

我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化?同一问题中的变量之间有什么联系?也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢?

这将是我们这节研究的内容.

Ⅱ.导入新课

首先回顾一下上节活动一中的两个问题.思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系.

活动一两个问题都有两个变量.问题(1)中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150，则y=1500;日场x=205，则y=2050;晚场x=310，则y=3100.

问题(2)中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L就随之确定一个值.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20.

再来回顾活动二中的两个问题.看看它们中的变量又怎样呢?

问题(1)中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1.78cm;当S=20cm2时，r=2.52cm.每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r= .

问题(2)中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，即可得出另一边长，再计算出矩形的面积.如：当x=1cm时，则S=1×(5-1)=4cm2，当x=2cm时，则S=2×(5-2)=6cm2……它们之间存在关系S=x(5-x)=5x-x2.因此可知，每当矩形长度x取定一个值时，面积S就随之确定一个值.

由以上回顾我们可以归纳这样的结论：

上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.

其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗?

(2)在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每个确定的年份(x)，都对应着个确定的人口数(y)吗?

中国人口数统计表

年份 人口数/亿

1984 10.34

1989 11.06

1994 11.76

1999 12.52

通过观察不难发现在问题(1)的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量(independentvariable)，y是x的函数(function).如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2.5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数;人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数.当x=1999时，函数值y=12.52亿.

从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.

[活动一]

1.在计算器上按照下面的程序进行操作：

填表：

x 1 3 -4 0 101

y

显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?

2.在计算器上按照下面的程序进行操作.

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：

x 1 2 3 0 -1

y 3 5 7 2 -1

所按的第三、四两个键是哪两个键?y是x的函数吗?如果是，写出它的表达式(用含有x的式子表示y).

活动结论：

1.从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数.

2.从表中两行数据中不难看出第三、四按键是 这两个键，且每个x的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数.关系式是：y=2x+1

[活动二]

例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.

1.写出表示y与x的函数关系式.

2.指出自变量x的取值范围.

3.汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油?

结论：

1.行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数.

行驶里程x时耗油为：0.1x

油箱中剩余油量为：50-0.1x

所以函数关系式为：y=50-0.1x

2.仅从式子y=50-0.1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500.

因此自变量x的取值范围是：

0≤x≤500

3.汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值，将x=200代入y=50-0.1x得： y=50-0.1×200=30

汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油.

关于函数自变量的取值范围

1.实际问题中的自变量取值范围

问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制?

问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。

2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例.求下列函数中自变量x的取值范围

(1)y=3x-l (2)y=2x2+7 (3)y=1x+2 (4)y=x-2

分析：用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x+2)必须不等于0式子才有意义，对于第(4)题，(x-2)必须是非负数式子才有意义.

我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又该学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法.知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义.

Ⅲ.随堂练习

下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.

1.改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.

2.秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.

解答：

1.正方形边长x是自变量，正方形面积S是x的函数.

函数关系式：S=x2

2.这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数.

函数关系式：y=

Ⅳ.小结

本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.

Ⅴ.作业

1、习题11.1.1-1、2、3、4题.

2、《课堂感悟与探究》

Ⅵ.活动与探究

1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸.小明买了10支毛笔和x张宣纸，则小明用钱总数y(元)与宣纸数x之间的函数关系是什么?

过程：

根据题意可知：

当小明所买宣纸数x小于等于10张时，所用钱数为：y=5×10=50(元)

当小明所买宣纸数x大于10张时，所用钱数为：y=50+(x-10)×3=3x+20(元)

结果：

当0

当x>10时 y=3x+20

2、 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元;超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨(x >10)，应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数?

(参考答案：Y=1.8x-6或 )

2、如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式.

*3.如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式.

板书设计

§11.1.2 函数

一、自变量、函数及函数值

二、自变量取值范围

三、课堂练习

备课资料

1.校园里栽下一棵小树高1.8米，以后每年长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________.

2.在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v= ，则这个关系式中________是自变量，________函数.

3.已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为____________.

4.△ABC中，AB=AC，设∠B=x°，∠A=y°，试写出y与x的函数关系式_____________.

5.到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0.80元，超过20克而不超过40克时付邮费1.60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0.80元(信重量在100克内).如果某人所寄一封信的质量为78.5克，则他应付邮费________元.

答案：1.L=0.8+0.3n 2.t v是t的 3.y= x- 4.y=180°-2x 5.3.20.

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