4、设n4，若n元正整数集合M满足：对任何整数k，都存在a,bM，ab，

使得ak与bk是不互质的数，就称M为“好集”.

证明：若M为“好集”，且M中所有元素之和为2011，则存在cM，使得从M中删去元素c后，所得到的集MMc仍为“好集”.

n

n

2012

5、设数n为正奇数，满足n

k

k1

，证明：n

2

k

k1

2013

.

6、设T(n)为正整数n

的正因数的个数，证明：T(n)

2

2

2

7、设P1,2,3,为全体正整数的平方所构成的集合，如果正整数n能表成集

合P中的若干个(至少一个)互异元素之和，就称“数n具有P结构”，记为nP;证明：不具有P结构的正整数只有有限多个.

8、对于给定的有限项的正整数数列a1,a2,,an,进行如下操作：如果jk，并且aj

不整除ak，那么将aj,ak分别换成(aj,ak)和[aj,ak];

证明：这个过程是有限的，并且最终的结果是唯一的.

9、若正整数m,n,k满足：mnk1，证明：存在x1,x2,y1,y2N，使以下三式：

mx1y1, nx2y2, kx1x2y1y2 同时成立.

p12

2

2

2

2

2

10、若p4n1为质数，则

r1

r2p1

，(即 p4k2

. pn)

k1

2n

11、设p为奇质数，a,b是小于p的正整数，证明：abp的必要充分条件是：对

2an2bn

任何小于p的正整数n，均有正奇数. (其中方括号表示取整.)

pp

由精品小编为大家提供的初中奥数数论基础练习题2014就到这里了，愿大家都能学好奥数。