初中奥数几何:格点与面积习题讲解1

编辑:sx_bilj

2014-02-04

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如下图,在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上,如果任意相邻平行线之间的距离都相等,我们就把这样两组平行线的交点称为格点(如下图中的红点),把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度,把每个小正方形的面积看作一个面积单位(如图中带阴影的方格)。

一个多边形的顶点如果全是格点,这个多边形就叫做格点多边形,本讲就,学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便,一般有三种方法:①规则的格点多边形,可以运用多边形的面积公式求出面积;②一些简单而又特殊的格点多边形,可以通过数格子求出面积;③较复杂的不规则图形,一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始,很少用。

任意格点多边形,只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数,就可用下面的皮克公式算出面积:

格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的,被称为“皮克定理”,这是一个实用而有趣的定理。

皮克定理的证明:

将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分;而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形,且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆,少了其外角对应的扇形面积,因任意多边形的外角和是360度,正好是个整圆,所以周界上圆在图内的面积为:周界格点数÷2-1

所以格点多边形面积为:图内格点个数+周界格点数÷2-1。

皮克定理的证明过程比较抽象,孩子难以理解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式,掌握格点面积公式的应用,到初中还会进一步学习皮克定理。

这篇初中奥数几何:格点与面积习题讲解1就和大家分享到这里了,希望大家都能喜欢上奥数。

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