初中奥数基本不等式训练题

编辑:jz_fuzz

2015-04-18

奥数的学习并没有我们想象的那么难,只要用心我们还是可以把奥数学习好的。我们一起来看一下这篇初中奥数基本不等式训练题吧。

1.若xy>0,则对 xy+yx说法正确的是(  )

A.有最大值-2       B.有最小值2

C.无最大值和最小值 D.无法确定

答案:B

2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是(  )

A.400 B.100

C.40 D.20

答案:A

3.已知x≥2,则当x=____时,x+4x有最小值____.

答案:2 4

4.已知f(x)=12x+4x.

(1)当x>0时,求f(x)的最小值;

(2)当x<0 时,求f(x)的最大值.

解:(1)∵x>0,∴12x,4x>0.

∴12x+4x≥212x•4x=83.

当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,

∴当x>0时,f(x)的最小值为83.

(2)∵x<0,∴-x>0.

则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83,

当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.

∴当x<0时,f(x)的最大值为-83.

一、选择题

1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是(  )

A.x+12x B.x2-1+1x2-1

C.2x+2-x D.x(1-x)

答案:C

2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是(  )

A.32-3 B.-3

C.62 D.62-3

解析:选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是(  )

A.200 B.100

C.50 D.20

解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.

4.给出下面四个推导过程:

①∵a,b∈(0,+∞),∴ba+ab≥2ba•ab=2;

②∵x,y∈(0,+∞),∴lgx+lgy≥2lgx•lgy;

③∵a∈R,a≠0,∴4a+a ≥24a•a=4;

④∵x,y∈R,,xy<0,∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.

其中正确的推导过程为(  )

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.

①∵a,b∈(0,+∞),∴ba,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;

②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,∴②的推导过程是错误的;

③∵a∈R,不符合基本不等式的条件,

∴4a+a≥24a•a=4是错误的;

④由xy<0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.

5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是(  )

A.2 B.22

C.4 D.5

解析:选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4.

6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有(  )

A.最大值64 B.最大值164

C.最小值64 D.最小值164

解析:选C.∵x、y均为正数,

∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy,

当且仅当8x=2y时等号成立.

∴xy≥64.

二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.

答案:1

8.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.

解析:1=x+4y≥2x•4y=4xy,∴xy≤116.

答案:大 116

9.(2010年高考山东卷)已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.

解析:∵x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,∴xy≤3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案:3

三、解答题

10.(1)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.

∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

≥2 x+1•4x+1+5=9,

当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.

∴x=1时,函数的最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x>1,∴x-1>0.

∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1,即x=4时等号成立,

∴y有最小值8.

11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.

证明:∵a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,

∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca,

同理1b-1≥2acb,1c-1≥2abc,

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解:设污水处理池的长为x米,则宽为200x米.

总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

=800×(x+225x)+12000

≥1600x•225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x>0),

即x=15时等号成立.

现在是不是觉得奥数很简单啊,希望这篇初中奥数基本不等式训练题可以帮助到你。

相关推荐

初中数学奥数专题讲座之一元一次不等式 

初中数学竞赛专题精讲之一次不等式 

免责声明

威廉希尔app (51edu.com)在建设过程中引用了互联网上的一些信息资源并对有明确来源的信息注明了出处,版权归原作者及原网站所有,如果您对本站信息资源版权的归属问题存有异议,请您致信qinquan#51edu.com(将#换成@),我们会立即做出答复并及时解决。如果您认为本站有侵犯您权益的行为,请通知我们,我们一定根据实际情况及时处理。