初中数学绝大部分是学习基础知识，如果能多学习一些奥数方面的知识会占有比较大的优势，是高分学生拉开差距，体现数学优势的关键。威廉希尔app 整理的初中奥数一元二次方程判别式专题，希望可以帮助同学们提高成绩!

一元二次方程根的判别式

初中知识回顾

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2-4ac.

(1)当Δ=b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根,即

x=.

(2)当Δ=b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有的实数根,即

x1=x2=-.

(3)当Δ=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根.

典例剖析

例1不解方程,判断下列方程根的情况.

(1)-4×2=6x+3;

(2)3×2-5x-4=0;

(3)(6-2)x2-2(-1)x+1=0.

思路导引:要判别一元二次方程根的情况,首先需要把方程化为一元二次方程的一般式,再求出“Δ”的值,根据“Δ”的值即可判断.

分析解答:

(1)原方程可化为4×2+6x+3=0,

因为Δ=62-4×4×3=-12<0,

所以方程没有实数根.

(2)因为Δ=(-5)2-4×3×(-4)=73>0,

所以方程有两不相等的实数根.

(3)因为Δ=[-2(-1)]2-4(6-2)×1

=4(-1)2-4(6-2)

=4(6-2)-4(6-2)

=0,

所以方程有两个相等的实数根.

方法归纳:判定方程的实根的情况,则只需由“Δ”的值来判定.

例2k取何值时,方程x2-(k-1)•x+k+2=0有两个相等的实数根,并求出方程的这两个根.

思路引导:由于知道方程根的情况,从而由Δ=0得到关于k的方程.

分析解答:因为Δ=[-(k-1)]2-4•(k+2)=k2-6k-7,

因为方程有两相等的实数根.

所以k2-6k-7=0,

解得k=7或k=-1.

当k=7时,原方程化为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.

当k=-1时,原方程化为x2+2x+1=0, 解得x1=x2=-1.

方法归纳:对于此类含字母系数的一元二次方程,由根的存在情况得到含字母系数的方程,解出字母.

入门衔接知识

在高中知识求函数的自变量和函数值的取值范围时,经常要遇到含字母系数的方程,需要讨论,由根的存在情况来确定它的取值范围,以及有理根(无理根)的讨论情形.

例题引路

例1证明:无论a取何值时,关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+2(a-2)=0,一定有两个不相等实数根.

思路导引:由一元二次方程根的判别式Δ=(a+1)2-8(a-2),因为无论a取何值,方程要有两个不相等的实数根,因而要判断Δ是恒大于0的式子.

分析解答:由题意可知,Δ=(a+1)2-8(a-2)=a2+2a+1-8a+16=a2-6a+17=(a-3)2+8,

因为(a-3)2≥0,

所以Δ>0,

所以此方程一定有两个不相等的实数根.

方法归纳:涉及方程根的存在情况,由判别式Δ入手,证得Δ恒大于0、等于0或小于0即可.

例2m取什么值时,关于x的一元二次方程(2m2-1)x2-(4m+1)x+2=0:

(1)有两个不相等的实数根;

(2)有两个相等的实数根;

(3)没有实数根.

思路导引:由已知方程根的情况,即可判定出“Δ”的取值,得到关于m的方程(或不等式),解出m即可.

分析解答:

Δ=[-(4m+1)]2-4(2m2-1)×2=8m+9.

(1)因为方程有两个不相等的实数根,

所以Δ>0,

即8m+9>0得m>-,

因为m=±时,2m2-1=0,

所以m>或-<m<或-<m　　(2)因为方程有两相等的实数根,< p="">

所以Δ=0,

即8m+9=0,

所以m=-.

(3)因为方程没有实数根,所以Δ<0,

即8m+9<0,所以m<-.

综上,当-<m<-或 -<m<或m="”"">时,方程有两个不相等的实数根;当m=-时,方程有两个相等的实数根;当m< -时,方程没有实数根.

方法归纳:此类题,由方程根的存在情况得到字母系数的取值范围,但“Δ”一定是在一元二次方程的前提下才可施行,因而要讨论字母系数的取值中是否有使二次项系数为0的情形,有则舍去.

例3已知实数x、y满足x2+y2-xy+2x-y+1=0,试求x、y的值.

思路导引:把方程看成关于x(或y)的一元二次方程,由于x、y为实数,方程化为

x2+(2-y)x+y2-y+1=0,

Δ=(2-y)2-4(y2-y+1)≥0,得到y的取值,进而解出x.

分析解答:可以把所给方程看作为关于x的方程.

整理得:x2-(y-2)x+y2-y+1=0.

因为Δ=[-(y-2)]2-4(y2-y+1)=-3y2,

又因为x是实数,

所以上述方程有实数根,

必须-3y2≥0,所以y=0.

代入原方程解得x2+2x+1=0,所以x=-1.

方法归纳:从x、y为实数,转变成关于某一字母为未知数的方程,根据字母的取值情况,得到Δ的取值,引入含参数建立相关字母的方程(或不等式).

感悟提升

在高中知识中,求函数的自变量和函数值的取值范围,以及研究直线和曲线关系时,常需要由一元二次方程中判别式Δ的取值,解出相关字母系数的取值范围.

衔接训练

一选择题

1. 方程x2-3x+2=0根的情况是()　

A. 有两个不相等实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 没有实数根

D. 只有一个实数根

2. 若一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()

A. k>2 B. k<2且k≠1

C. k<2 D. k>2且k≠1

3. 下列方程中有实数根的是()

A. x2+2x+3=0 B. x2+1=0

C. x2+3x+1=0 D. =

4. 若k是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则根的判别式Δ=b2-4ac和M=(2ak+b)2的关系是()

A. Δ=M

B. Δ>M

C. Δ　　D. 大小关系不能确定

二、填空题

5. 若方程4×2-8mx+4m-1=0有两个相等的实数根,则m= .

6. 若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.

三、解答题

7. n为何值时,关于x的方程3nx2-2(n-1)x+n=0:

(1)只有一个实根;

(2)有两个相等的实数根;

(3)没有实数根.

8. 已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4k-=0,证明:无论k取何值方程总有实根.

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