奥数对激发学生学习数学的兴趣，发现优秀的数学特长生，推动中学数学教学改革等方面都起了很大的作用。这篇精选初中奥数一元二次方程根与系数，欢迎同学们阅览!

典例剖析

例1若x1和x2分别是一元二次方程2×2+5x-3=0的两根,求

(1)x1-x2;

(2)+;

(3)x+x.

思路导引:

x1-x2=,

+=,x+x=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2].

分析解答:由一元二次方程根与系数的关系,有x1+x2=-,x1x2=-,所以(1)x1-x2===.

(2)+===.

(3)x+x=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]= –2-3×-=-.

方法归纳:求两根代数式的值,不求方程的根,而将其化成是以x1+x2、x1x2为整体的代数式即可,另x1-x2是一重要的量,对高中求直线截曲线的弦长有其特别的意义.

例2求一个一元二次方程,使它的两根分别为3+,3-.

思路导引:求一元二次方程,即求各项系数的值,若设方程的二次项系数为1,则利用根与系数的关系,求出其余两项的系数即可.

分析解答:设所求的方程为x2+mx+n=0,

因为m=-(x1+x2) =-(3++3-)=-6,

n=x1x2=(3+)(3-)=4,

所以所求的方程为x2-6x+4=0.

方法归纳:解决此类题的关键是设方程为x2+mx+n=0的形式,再找出两根和、积与m,n的关系.

例3已知关于x的方程5×2-9x+a=0的一个根是-,求另一个根及a的值.

思路导引:可将-代入方程求出a,再解出另一根,也可利用根与系数关系求解.

分析解答:

方法一. 因为x=-是方程5×2-9x+a=0的根,

所以5×-2-9×-+a=0.

所以a=-2.

所以原方程可变为5×2-9x-2=0,解方程得另一根2.

所以a=-2,方程的另一根为2.

方法二. 设方程的另一根为x,由根与系数关系得

x1+-=,x1-=.

解方程组得

a=-2,x1=2.

所以a=-2,方程的另一根为2.

方法归纳:已知方程的一根,将根代入方程即可求出待定字母的值,再求另一根;或利用根与系数的关系得到另一根与待定字母的方程组.

例4 已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.

思路导引:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程,从而解得m的值. 但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.

分析解答:设x1,x2是方程的两根,由韦达定理,得

x1+x2=-2(m-2),x1•x2=m2+4.

因为x+x-x1•x2=21,

所以(x1+x2)2-3×1•x2=21,

即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,

化简,得m2-16m-17=0,

解得m=-1,或m=17.

当m=-1时,方程为x2+6x+5=0,Δ>0,符合题意;

当m=17时,方程为x2+30x+293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合题意,舍去.

综上所述,m=-1.

方法归纳:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的取值范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,取满足条件的m的值即可.

(2)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零. 因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.

例5 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.

思路导引:我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.

分析解答:方法一,设这两个数分别是x,y,

则x+y=4,①

xy=-12. ②

由①,得y=4-x,

代入②,得

x(4-x)=-12,

即x2-4x-12=0,

所以x1=-2,x2=6.

所以x1=-2,y1=6, 或x2=6,y2=-2.

因此,这两个数是-2和6.

方法二,由韦达定理可知,这两个数是方程x2-4x-12=0的两个根.

解这个方程,得

x1=-2,x2=6.

所以,这两个数是-2和6.

上由威廉希尔app 小编整理的精选初中奥数一元二次方程根与系数，供同学们学习参考!

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