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第二十四章 数据特征的测度
离散程度的测度
离散程度是指数据之间的差异程度或频数分布的分散程度。集中趋势的测度值对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差;离散程度越小，其代表性就越好。
离散程度的测度，主要包括极差、方差和标准差、离散系数等。
(一)极差
极差是最简单的变异指标，是总体或分布中最大的标志值与最小的标志值之差，又称全距，用R表示。
极差反映的是变量分布的变异范围或离散幅度，在总体中任何两个单位的标志值之差都不可能超过极差。极差仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分布情况，同时易受极端值的影响。
【例题1?单选题】(2010年)根据下表所列我国1998年至2003年人口数及构成情况，l998年至2003年我国男性人口占年底总人口比重的极差是( )。
年份 199819992000200l 20022003
年底总人口(万人)
其中：男性(万人)
男性所占比重(%) 124761
63940
51.25125786
64692
51.43126743
65437
51.63127627
65672
51.46128453
66115
51.47129227
66556
51.50
A.0.38%
B.0.25%
C.51.25%
D.51.63%
『正确答案』A
『答案解析』男性所占比重的最大值为51.63%，最小值为51.25%，极差=51.63%-51.25%=0.38%。
(二)标准差和方差
标准差：总体所有单位标志值与其平均数离差之平方的平均数的平方根，用表示。
标准差与方差是应用最广泛的统计离散程度的测度方法。
(三)离散系数
极差、标准差和方差等都是反映数据分散程度的绝对值。为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测定值的影响，需要计算离散系数。
离散系数：也称标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的算术平均数之比，是测度数据离散程度的相对指标，用表示，其计算公式要掌握。
离散系数主要是用于比较不同组别数据的离散程度。离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。
【例题1?多选题】总体或分布中最大的标志值与最小的标志值之差称为( )。
A.离散系数
B.极差
C.方差
D.全距
E.标准差
『正确答案』BD
【例题2?单选题】(2008年)标准差系数是一组数据的标准差与其相应的( )之比。
A.算术平均数
B.极值
C.众数
D.几何平均数
『正确答案』A
【例题3?单选题】(2009年)离散系数比标准差更适用于比较两组数据的离散程度，这是因为离散系数( )。
A.不受极端值的影响
B.不受数据差异程度的影响
C.不受变量值水平或计量单位的影响
D.计算更简单
『正确答案』C
集中程度和离散程度的测度
类型 具体指标 与极端值的关系 与数据类型的关系
集中程度 位置平均数 众数 不受极端值影响 既适用于品质数据，也适用于数值型数据
中位数 不适用于分类数据
数值平均数 算术平均数 受极端值影响 适用于数值型数据，但不适用于品质数据
几何平均数 适用于观察值之间存在连乘积关系的数值型数据
离散程度 绝对值 极差 适用于数值型数据
标准差
方差
相对值 离散系数
【例题1?单选题】(2009年)下列指标中，用于描述数据集中趋势，并且易受极端值影响的是( )。
A.算术平均数
B.中位数
C.众数
D.极差
『正确答案』A
『答案解析』中位数和众数都不受极端值的影响，极差描述数据离散程度
【例题2?单选题】测度数据离散程度的相对指标有( )。
A.标准差
B.离散系数
C.方差
D.极差
『正确答案』B
【例题3?多选题】(2009年)适于测度顺序数据的指标有( )。
A.离散系数
B.中位数
C.众数
D.均值
E.标准差
『正确答案』BC
『答案解析』众数适用于各类数值，中位数适用顺序数据和数值型数据。