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微积分数学焦点概念:高等数学焦点概念

1.若y=f(x)互为反函数，则f[g(x)]=x

2.若limf(x)存在，则limf(x)表示一个常数

x→x0 x→x0

例：已知limf(x)和limf(x)都存在，且f(x)=x^2+3xlimf(x)+2x^3limf(x)求f(x)

x→1 x→2 x→1 x→2

3.若当x→x0时，或x→∞时，f(x)为无界变量，则当x→x0或x→∞时，f(x)必定为无穷大量(此命题是错误的)

例f(x)=x x为有理数

f(x)=1/x x为无理数

4.两个无穷大量和必定为无穷大量(此命题是错误的)

例x→0 (2-1/x)+(3+1/x)=5

5.若x→x0时，f(x)为无穷大量，则当x→x0时ef(x)必定为无穷大量。(此命题是错误的)

当x→1时，1/(x-1)为无穷大量而lim1/(x-!)=∞ lim1/(x-!)= -∞

x→1+ x→1-

lim e^1/(x-!)=+∞ lime^1/(x-1)=0

x→1+ x→1-

6.若lim(un,vn)=0，则必定有lim un=0或 lim vn=0

n→∞ n→∞ n→∞

(此命题是错误的)

例un=1-(-1)^n vn=1+(-1)^n n=1,2….

U*v=0

因此lim(u,v)=0

但是u,v都存在

7.设对任意的x，总有Ф(x)≤f(x)≤g(x)且lim[g(x)-ф(x)]=0，则limf(x)必定

x→∞ x→∞

存在。(此命题是错误的)

例设Φ(x)=(x^4-1)/x^2 f(x)=x^2 g(x)=(x^4+1)/x^2

则lim[g(x)-Φ(x)]=0 但limf(x) 不存在

x→∞ x→∞

8.若y=f(x)在点x0连续，则在点x0必可导。(此命题是错误的)

例：y=∣x∣ 点x=0 处连续但不可导

已知f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)在点x=a的某邻域内有定义,则g(x)在x=a处连续，求fˊ(x)

9.初等函数在定义区间内必定可导。(此命题是错误的)

例y=x^2/3在x=0处不可导

10.若f(x)在点x0可导，则|f(x)|在点x0必定可导。(此命题是错误的)

例：函数f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|不可导的点的个数为多少?

11.设f(x)在点x=a处可导，则∣f(x)∣在点x=a不可导的充分条件是f(a)=0且f’(x)≠0

12.若limf’(x)=limf’(x)，则必有f’(x)=A(此命题是错误的)

x→x0_ x→x0+

13.若f(x)为(a,b)内的单调函数且可导，则f’(x)在(a,b)内可导。(此命题是错误的)

例：y=x^3

14.若f’(x)在(a,b)内为单调函数，则f(x)在(a,b)内也为单调函数。(此命题是错误的)

y=x^2 y’=2x

15.若f(x)在点x0有直至n阶导数，且f’(x0)=f’’(x0)=…f^(n-1)(x0)=0而f^(n-1)≠0(n>2)

则当n为偶数时，x0必为f(x)的极值点;当n为奇数时，x0不为f(x)的极值点。

当n为奇数时，点(x0,f(x0))为曲线的拐点。

16.若x0为函数y=f(x)的极值点，则点(x0,f(x0))必定不为曲线y=f(x)的拐点(错误)

例：y=∣xe^(-x)∣

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